(Miscelânea) Identifique o método de integração e resolva as integrais abaixo:
integral d xx^2-25

Passo 1

Beleza, o exercício pede para identificar o método de integração adequado e resolver a integral integral dxx^2-25. Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com técnicas de integração de funções racionais. Para resolver essa integral, vamos precisar usar o método de frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador da fração: x^2 - 25. Perceba que isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte forma:
x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)

Passo 3

Com o denominador fatorado, podemos decompôr a fração 1x^2-25 em frações parciais. Ou seja, assumimos que:
1x^2-25 = Ax - 5 + Bx + 5
Aqui, A e B são constantes que precisamos descobrir.

Passo 4

Para encontrar os valores de A e B, multiplicamos ambos os lados da equação por (x - 5)(x + 5) para eliminar os denominadores:
1 = A(x + 5) + B(x - 5)

Passo 5

Agora, vamos expandir e simplificar a expressão:
1 = A x + 5A + B x - 5B 1 = (A + B)x + (5A - 5B)

Passo 6

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo valor de x, os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação devem ser iguais. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
A + B = 0 5A - 5B = 1

Passo 7

Vamos resolver o sistema:
  1. Da primeira equação: A = -B
  2. Substituindo na segunda equação: 5(-B) - 5B = 1 -5B - 5B = 1 -10B = 1 B = -110
  3. Então, A = -B = 110

Passo 8

Agora que temos os valores de A e B, substituímos de volta na decomposição das frações parciais:
1x^2-25 = 110x - 5 + -110x + 5 = 110(1x - 5 - 1x + 5)

Passo 9

Agora, vamos integrar os dois termos separadamente:
integral dxx^2-25 = 110 integral dxx - 5 - 110 integral dxx + 5
Sabemos que integral dxx = ln|x| + C, então:
110 ln|x - 5| - 110 ln|x + 5| + C

Resposta

integral dxx^2-25 = 110 ln|x - 5x + 5| + C

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