(Miscelânea) Identifique o método de integração e resolva as integrais abaixo:
Passo 1
Beleza, o exercício pede para identificar o método de integração adequado e resolver a integral
. Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com técnicas de integração de funções racionais. Para resolver essa integral, vamos precisar usar o método de frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o denominador da fração:
. Perceba que isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte forma:
Passo 3
Com o denominador fatorado, podemos decompôr a fração
em frações parciais. Ou seja, assumimos que:
Aqui,
e
são constantes que precisamos descobrir.
Passo 4
Para encontrar os valores de
e
, multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Passo 5
Agora, vamos expandir e simplificar a expressão:
Passo 6
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo valor de
, os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação devem ser iguais. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 7
Vamos resolver o sistema:
- Da primeira equação:
- Substituindo na segunda equação:
- Então,
Passo 8
Agora que temos os valores de
e
, substituímos de volta na decomposição das frações parciais:
Passo 9
Agora, vamos integrar os dois termos separadamente:
Sabemos que
, então: