(Miscelânea) Identifique o método de integração e resolva as integrais abaixo:

Passo 1

Beleza, o exercício pede para identificar o método de integração adequado e resolver a integral . Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com técnicas de integração de funções racionais. Para resolver essa integral, vamos precisar usar o método de frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador da fração: . Perceba que isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte forma:

Passo 3

Com o denominador fatorado, podemos decompôr a fração em frações parciais. Ou seja, assumimos que:
Aqui, e são constantes que precisamos descobrir.

Passo 4

Para encontrar os valores de e , multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:

Passo 5

Agora, vamos expandir e simplificar a expressão:

Passo 6

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo valor de , os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação devem ser iguais. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 7

Vamos resolver o sistema:
  1. Da primeira equação:
  2. Substituindo na segunda equação:
  3. Então,

Passo 8

Agora que temos os valores de e , substituímos de volta na decomposição das frações parciais:

Passo 9

Agora, vamos integrar os dois termos separadamente:
Sabemos que , então:

Resposta

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Calcule as integrais a seguir:
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Calcule as integrais a seguir, usando o método da substituição: