Dada a função
, calcule os limites abaixo:
Passo 1
Beleza, temos a função
definida de duas maneiras: para qualquer
que não seja 3,
, e quando
,
. A gente precisa calcular o limite dessa função quando
se aproxima de 3 pela direita, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e simplificação de expressões matemáticas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a expressão de
quando
:
. Nosso objetivo é entender o que acontece com essa fração conforme
se aproxima de 3 pela direita.
Passo 3
Vamos tentar simplificar o numerador da fração. Observe que
pode ser fatorado assim:
Então, a expressão de
fica:
Passo 4
Agora, vamos analisar o comportamento dessa fração conforme
se aproxima de 3 pela direita. O denominador
está ficando cada vez menor, pois
está perto de 3, e como estamos vindo pela direita,
, então
é um número pequeno e positivo.
Passo 5
No numerador, substituindo
por valores próximos de 3, temos:
Então, o numerador está se aproximando de 18.
Passo 6
Colocando tudo junto, o limite fica assim:
Como
está se aproximando de 0 por valores positivos, a fração
está crescendo sem limites, ou seja, tende ao infinito positivo.
Resposta
O limite
.
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(Miscelânea) Identifique o método de integração e resolva as integrais abaixo:
Sabendo que
, Calcule
Calcule as integrais a seguir, usando o método da substituição:
Dada a função
, calcule os limites abaixo: