Dada a função f(x)=cx^2+3 xx-3, x neq 3 1, x=3, calcule os limites abaixo: (a) L=lim x 3^+ f(x)

Passo 1

Beleza, temos a função definida de duas maneiras: para qualquer que não seja 3, , e quando , . A gente precisa calcular o limite dessa função quando se aproxima de 3 pela direita, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e simplificação de expressões matemáticas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão de quando : . Nosso objetivo é entender o que acontece com essa fração conforme se aproxima de 3 pela direita.

Passo 3

Vamos tentar simplificar o numerador da fração. Observe que x^2 + 3x = x(x + 3) pode ser fatorado assim:
f(x) = x(x + 3)x - 3
Então, a expressão de fica:

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento dessa fração conforme se aproxima de 3 pela direita. O denominador está ficando cada vez menor, pois está perto de 3, e como estamos vindo pela direita, , então é um número pequeno e positivo.

Passo 5

No numerador, substituindo x(x + 3) approx 3 times (3 + 3) = 3 times 6 = 18 por valores próximos de 3, temos:
Então, o numerador está se aproximando de 18.

Passo 6

Colocando tudo junto, o limite fica assim:
limx 3^+ f(x) = limx 3^+ 18x - 3
Como está se aproximando de 0 por valores positivos, a fração está crescendo sem limites, ou seja, tende ao infinito positivo.

Resposta

O limite .

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