Utilize uma mudança de variável conveniente para resolver as integrais abaixo:
integral sen(x)[5-cos (x)]^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para a gente resolver a integral da função em relação a . Estamos lidando com cálculo, mais especificamente com técnicas de integração usando substituição. Para isso, vamos precisar escolher uma mudança de variável que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que facilite a resolução. Olhando para a integral, percebemos que o denominador tem e o numerador tem . Isso sugere que podemos usar .
Por que escolher ? Porque a derivada de é , que já está no numerador, tornando a substituição mais simples.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de dudx = sin(x) em relação a du = sin(x) , dx :
Isso significa que:
Perfeito! Então, podemos reescrever como .

Passo 4

Substituindo na integral original, temos:
integral sin(x)[5 - cos(x)]^3 , dx = integral duu^3
Agora, a integral ficou mais simples: .

Passo 5

Vamos resolver a integral integral u^n , du = u^n+1n+1 + C . A regra básica de integração para integral u^-3 , du = u^-2-2 + C = -12u^2 + C onde é:
Aplicando essa regra com :

Passo 6

Agora, vamos voltar à variável original -12u^2 + C = -12(5 - cos(x))^2 + C substituindo por :

Resposta

A integral -12(5 - cos(x))^2 + C é igual a:

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