Calcule as integrais: Um sólido é delimitado pelo paraboloide z = x^2 + y^2, pelo cilindro x^2 + y^2 = 4 e pelo plano x y. Determine o seu volume.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que é formado por três superfícies: um paraboloide dado por , um cilindro e o plano . Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integrais múltiplas em coordenadas polares para facilitar a conta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos analisando. O cilindro tem raio 2, e o paraboloide abre para cima a partir do plano . Queremos o volume entre o plano (onde ) e o paraboloide, limitado pelo cilindro.

Passo 3

Para facilitar o cálculo, vamos usar coordenadas polares, já que a região é circularmente simétrica. Nas coordenadas polares, temos:

  • O diferencial de área em coordenadas polares é .

Passo 4

Agora, vamos estabelecer os limites de integração:
  • varia de 0 a 2 (raio do cilindro).
  • varia de 0 a (círculo completo).
  • vai de 0 até (do plano ao paraboloide).

Passo 5

Montamos a integral tripla para o volume :
Primeiro integramos em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, integramos em relação a :
Então, a integral fica:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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