Calcule as integrais: Um sólido é delimitado pelo paraboloide
, pelo cilindro
e pelo plano
. Determine o seu volume.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que é formado por três superfícies: um paraboloide dado por
, um cilindro
e o plano
. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integrais múltiplas em coordenadas polares para facilitar a conta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos analisando. O cilindro
tem raio 2, e o paraboloide
abre para cima a partir do plano
. Queremos o volume entre o plano
(onde
) e o paraboloide, limitado pelo cilindro.
Passo 3
Para facilitar o cálculo, vamos usar coordenadas polares, já que a região é circularmente simétrica. Nas coordenadas polares, temos:
-
-
-
O diferencial de áreaem coordenadas polares é .
Passo 4
Agora, vamos estabelecer os limites de integração:
-
varia de 0 a 2 (raio do cilindro). -
varia de 0 a (círculo completo). -
vai de 0 até (do plano ao paraboloide).
Passo 5
Montamos a integral tripla para o volume
:
Primeiro integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.