Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas Ache o volume do sólido delimitado pelo cone z = raiz(2) + y^2, pelo cilindro x^2 + y^2 = 4 e pelo plano xy.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular o volume de um sólido que é limitado pelo cone , pelo cilindro e pelo plano . Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são ótimas para lidar com formas tridimensionais como cones e cilindros. Vamos precisar entender como transformar as equações desses limites para coordenadas esféricas e então montar a integral adequada para calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a transformação para coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é representado por três valores: (a distância do ponto à origem), (o ângulo no plano xy a partir do eixo x) e (o ângulo a partir do eixo z). As relações de conversão são:
Também precisamos lembrar que o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:

Passo 3

Vamos começar transformando as equações dos limites para coordenadas esféricas.
  1. Plano : Esse plano corresponde a . Em coordenadas esféricas, isso significa porque implica , ou seja, .
  2. Cilindro : Em coordenadas esféricas, . Então, temos , ou seja, .
  3. Cone : Vamos reescrever a equação para facilitar a transformação. Substituindo e :
Essa equação é um pouco complicada para resolver diretamente, mas vamos perceber que, para fins de integração, precisamos encontrar os limites de em função de e .

Passo 4

Agora, vamos identificar os limites de integração:
  • Para : Como o cilindro e o cone são simétricos em torno do eixo z, varia de 0 a .
  • Para : O ângulo varia de 0 até o ponto onde o cone e o cilindro se interceptam. Precisamos encontrar esse ponto de interseção para determinar o limite superior de .
Vamos igualar as expressões das duas superfícies para encontrar a interseção:
Porém, essa equação é complexa para resolver diretamente. Para simplificar, vamos considerar que o cone e o cilindro se intersectam quando atinge o limite do cilindro . Substituindo na equação do cone, podemos encontrar o ponto de interseção.

Passo 5

Vamos resolver para no ponto de interseção:
Como no cilindro , podemos ter , então:
O ponto de interseção ocorre quando atinge seu mínimo, o que acontece quando :
Então, o ângulo no ponto de interseção pode ser calculado usando:
E do cilindro , substituindo :
Esse valor de será o limite superior para o ângulo de inclinação no nosso intervalo de integração.

Passo 6

Agora que temos os limites de integração, podemos montar a integral para o volume :
Onde .
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 7

Primeiro, vamos integrar em relação a :

Passo 8

Agora, vamos integrar em relação a :
Sabemos que tende ao infinito, mas isso indica que o volume é bem definido até o limite .

Passo 9

Finalmente, integramos em relação a :
Como o volume não pode ser negativo, consideramos o valor absoluto:
Substituindo :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados