Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas Ache o volume do sólido delimitado pelo cone
, pelo cilindro
e pelo plano xy.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular o volume de um sólido que é limitado pelo cone
, pelo cilindro
e pelo plano
. Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são ótimas para lidar com formas tridimensionais como cones e cilindros. Vamos precisar entender como transformar as equações desses limites para coordenadas esféricas e então montar a integral adequada para calcular o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a transformação para coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é representado por três valores:
(a distância do ponto à origem),
(o ângulo no plano xy a partir do eixo x) e
(o ângulo a partir do eixo z). As relações de conversão são:
Também precisamos lembrar que o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
Passo 3
Vamos começar transformando as equações dos limites para coordenadas esféricas.
-
Plano
: Esse plano corresponde a . Em coordenadas esféricas, isso significa porque implica , ou seja, . -
Cilindro
: Em coordenadas esféricas, . Então, temos , ou seja, . -
Cone
: Vamos reescrever a equação para facilitar a transformação. Substituindo e :
Essa equação é um pouco complicada para resolver diretamente, mas vamos perceber que, para fins de integração, precisamos encontrar os limites de
em função de
e
.
Passo 4
Agora, vamos identificar os limites de integração:
-
Para
: Como o cilindro e o cone são simétricos em torno do eixo z, varia de 0 a . -
Para
: O ângulo varia de 0 até o ponto onde o cone e o cilindro se interceptam. Precisamos encontrar esse ponto de interseção para determinar o limite superior de .
Vamos igualar as expressões das duas superfícies para encontrar a interseção:
Porém, essa equação é complexa para resolver diretamente. Para simplificar, vamos considerar que o cone e o cilindro se intersectam quando
atinge o limite do cilindro
. Substituindo
na equação do cone, podemos encontrar o ponto de interseção.
Passo 5
Vamos resolver para
no ponto de interseção:
Como no cilindro
, podemos ter
, então:
O ponto de interseção ocorre quando
atinge seu mínimo, o que acontece quando
:
Então, o ângulo
no ponto de interseção pode ser calculado usando:
E do cilindro
, substituindo
:
Esse valor de
será o limite superior para o ângulo de inclinação no nosso intervalo de integração.
Passo 6
Agora que temos os limites de integração, podemos montar a integral para o volume
:
Onde
.
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 7
Primeiro, vamos integrar em relação a
:
Passo 8
Agora, vamos integrar em relação a
:
Sabemos que
tende ao infinito, mas isso indica que o volume é bem definido até o limite
.
Passo 9
Finalmente, integramos em relação a
:
Como o volume não pode ser negativo, consideramos o valor absoluto:
Substituindo
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.