Verifique se o limite de cada item existe. Caso exista, determine-o.
lim (x, y) (0,0) x^3+y^3x^2+y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o limite da função existe quando se aproxima de . Isso envolve o estudo de limites em funções de duas variáveis, e vamos precisar usar caminhos diferentes para ver se o limite é o mesmo por todos eles.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o limite ao longo do eixo x^3+0^3x^2+0^2 = x^3x^2 = x , ou seja, quando limx to 0 x = 0 . Substituindo na expressão, temos:
Agora, vamos ver o que acontece quando se aproxima de 0:
Então, pelo caminho , o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite ao longo do eixo 0^3+y^30^2+y^2 = y^3y^2 = y , ou seja, quando limy to 0 y = 0 . Substituindo na expressão, temos:
Agora, vamos ver o que acontece quando se aproxima de 0:
Então, pelo caminho , o limite também é 0.

Passo 4

Vamos testar agora um caminho diferente, por exemplo, x^3+x^3x^2+x^2 = 2x^32x^2 = x . Substituindo limx to 0 x = 0 na expressão, temos:
Quando se aproxima de 0:
Então, pelo caminho , o limite ainda é 0.

Passo 5

Para ter certeza de que o limite é 0 de verdade, vamos usar coordenadas polares, onde (r cos theta)^3 + (r sin theta)^3(r cos theta)^2 + (r sin theta)^2 = r^3 (cos^3 theta + sin^3 theta)r^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) = r cos^3 theta + sin^3 theta1 = r (cos^3 theta + sin^3 theta) e limr to 0 r (cos^3 theta + sin^3 theta) = 0 . Substituindo na expressão:
Agora, ao fazer se aproximar de 0, independente do valor de :

Resposta

O limite existe e é igual a 0.

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