Verifique se o limite de cada item existe. Caso exista, determine-o.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o limite da função
existe quando
se aproxima de
. Isso envolve o estudo de limites em funções de duas variáveis, e vamos precisar usar caminhos diferentes para ver se o limite é o mesmo por todos eles.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o limite ao longo do eixo
, ou seja, quando
. Substituindo
na expressão, temos:
Agora, vamos ver o que acontece quando
se aproxima de 0:
Então, pelo caminho
, o limite é 0.
Passo 3
Agora, vamos analisar o limite ao longo do eixo
, ou seja, quando
. Substituindo
na expressão, temos:
Agora, vamos ver o que acontece quando
se aproxima de 0:
Então, pelo caminho
, o limite também é 0.
Passo 4
Vamos testar agora um caminho diferente, por exemplo,
. Substituindo
na expressão, temos:
Quando
se aproxima de 0:
Então, pelo caminho
, o limite ainda é 0.
Passo 5
Para ter certeza de que o limite é 0 de verdade, vamos usar coordenadas polares, onde
e
. Substituindo na expressão:
Agora, ao fazer
se aproximar de 0, independente do valor de
:
Resposta
O limite existe e é igual a 0.