Encontre o volume da região
limitada acima por
, abaixo pelo plano
e pelos lados através do cilindro
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume da região
que está limitada acima pela superfície
, abaixo pelo plano
e pelos lados pelo cilindro
, onde
. Isso envolve calcular integrais múltiplas, então vamos usar cálculo multivariável para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma dessa região. A superfície
é a metade superior de uma esfera com raio
. O plano
é simplesmente o plano onde
. E o cilindro
delimita os lados da nossa região.
Passo 3
Para facilitar os cálculos, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde:
Nessas coordenadas, a equação da esfera fica:
E o cilindro fica:
As coordenadas cilíndricas são úteis aqui porque o cilindro tem simetria circular.
Passo 4
O volume que queremos calcular está entre
e
, e
vai de 0 a
. O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é:
Então, nossa integral tripla para o volume
será:
Passo 5
Vamos integrar passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar em relação a
. Para isso, fazemos uma substituição:
Os limites de integração mudam para
quando
e
quando
. A integral se torna:
Integrando
, temos:
Então, a integral fica:
Passo 7
Finalmente, integramos em relação a
:
Simplificando, obtemos:
Resposta
O volume da região
é: