Encontre o volume da região limitada acima por , abaixo pelo plano e pelos lados através do cilindro , onde .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume da região que está limitada acima pela superfície , abaixo pelo plano e pelos lados pelo cilindro , onde . Isso envolve calcular integrais múltiplas, então vamos usar cálculo multivariável para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma dessa região. A superfície é a metade superior de uma esfera com raio . O plano é simplesmente o plano onde . E o cilindro delimita os lados da nossa região.

Passo 3

Para facilitar os cálculos, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde:
Nessas coordenadas, a equação da esfera fica:
E o cilindro fica:
As coordenadas cilíndricas são úteis aqui porque o cilindro tem simetria circular.

Passo 4

O volume que queremos calcular está entre e , e vai de 0 a . O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é:
Então, nossa integral tripla para o volume será:

Passo 5

Vamos integrar passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a . Para isso, fazemos uma substituição:
Os limites de integração mudam para quando e quando . A integral se torna:
Integrando , temos:
Então, a integral fica:

Passo 7

Finalmente, integramos em relação a :
Simplificando, obtemos:

Resposta

O volume da região é:

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