Calcule as integrais por substituição trigonométrica (Leithold página 550)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral
Usaremos a técnica de substituição trigonométrica, que é útil quando temos raízes quadradas envolvendo expressões quadráticas, como é o caso aqui. Vamos precisar identificar qual função trigonométrica usar para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma da expressão dentro da raiz:
. Isso se parece com
, onde
. Para esse tipo de expressão, a substituição trigonométrica recomendada é:
Então, aqui podemos definir:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o diferencial
em termos de
. Derivando ambos os lados da substituição:
Passo 4
Vamos substituir
e
na integral original:
Passo 5
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Substituindo de volta na integral:
Passo 6
Sabemos que a integral de
é
. Então:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Sabemos que:
Desenhando um triângulo retângulo para encontrar
:
- O lado oposto a
é . - A hipotenusa é
. - O lado adjacente é
.
Então:
Resposta
Substituindo de volta, temos:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Em uma turma 88 calouros de Engenharia Mecânica sabe-se que 54 estudantes foram aprovada(o)s em Pré-Cálculo, 58 foram aprovada(o)s em Geometria Analítica e 48 foram aprovada(o)s nas duas disciplinas. Quantos estudantes não tiveram aprovação em nenhuma das disciplinas?
Considerando os conjuntos
,
e
preencha o espaço em branco de cada sentença com um dos seguintes símbolos:
ou
.
(a) ;
(d) ;
(g) ;
(j) ;
(b) 12 A;
(e) ;
(h) ;
( ) a \square F;
© 2 A;
(f) ;
(i) ;
(l) ;
(a)
(d)
(g)
(j)
(b) 12
(e)
(h)
(
© 2
(f)
(i)
(l)
Sejam
e
conjuntos. As proposições abaixo podem ser verdadeiras ou falsas. Se for verdadeira, prove-as. Caso sejam falsas apresente um contraexemplo (isto é, um exemplo que comprova sua falsidade).
(a) .
(b) .
© .
(d) .
(e) .
(f) .
(g) .
(h) .
(i) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)