Calcule as integrais por substituição trigonométrica (Leithold página 550)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral
Usaremos a técnica de substituição trigonométrica, que é útil quando temos raízes quadradas envolvendo expressões quadráticas, como é o caso aqui. Vamos precisar identificar qual função trigonométrica usar para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma da expressão dentro da raiz: . Isso se parece com , onde . Para esse tipo de expressão, a substituição trigonométrica recomendada é:
Então, aqui podemos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o diferencial em termos de . Derivando ambos os lados da substituição:

Passo 4

Vamos substituir e na integral original:

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da raiz:
Substituindo de volta na integral:

Passo 6

Sabemos que a integral de é . Então:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original . Sabemos que:
Desenhando um triângulo retângulo para encontrar :
  • O lado oposto a é .
  • A hipotenusa é .
  • O lado adjacente é .
Então:

Resposta

Substituindo de volta, temos:
Onde é a constante de integração.

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Em uma turma 88 calouros de Engenharia Mecânica sabe-se que 54 estudantes foram aprovada(o)s em Pré-Cálculo, 58 foram aprovada(o)s em Geometria Analítica e 48 foram aprovada(o)s nas duas disciplinas. Quantos estudantes não tiveram aprovação em nenhuma das disciplinas?
Considerando os conjuntos , e preencha o espaço em branco de cada sentença com um dos seguintes símbolos: ou .
(a) ;
(d) ;
(g) ;
(j) ;
(b) 12 A;
(e) ;
(h) ;
( ) a \square F;
© 2 A;
(f) ;
(i) ;
(l) ;
Sejam e conjuntos. As proposições abaixo podem ser verdadeiras ou falsas. Se for verdadeira, prove-as. Caso sejam falsas apresente um contraexemplo (isto é, um exemplo que comprova sua falsidade).
(a) .
(b) .
© .
(d) .
(e) .
(f) .
(g) .
(h) .
(i) .