Calcule as integrais por substituição trigonométrica (Leithold página 550)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral
Usaremos a técnica de substituição trigonométrica, que é útil quando temos raízes quadradas envolvendo expressões quadráticas, como é o caso aqui. Vamos precisar identificar qual função trigonométrica usar para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma da expressão dentro da raiz:
. Isso se parece com
, onde
. Para esse tipo de expressão, a substituição trigonométrica recomendada é:
Então, aqui podemos definir:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o diferencial
em termos de
. Derivando ambos os lados da substituição:
Passo 4
Vamos substituir
e
na integral original:
Passo 5
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Substituindo de volta na integral:
Passo 6
Sabemos que a integral de
é
. Então:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Sabemos que:
Desenhando um triângulo retângulo para encontrar
:
- O lado oposto a
é . - A hipotenusa é
. - O lado adjacente é
.
Então:
Resposta
Substituindo de volta, temos:
Onde
é a constante de integração.