Calcule as integrais por substituição trigonométrica (Leithold página 550)
I=integral d xx^2 raiz4-x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral
I = integral dxx^2 raiz4 - x^2
Usaremos a técnica de substituição trigonométrica, que é útil quando temos raízes quadradas envolvendo expressões quadráticas, como é o caso aqui. Vamos precisar identificar qual função trigonométrica usar para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma da expressão dentro da raiz: raiz4 - x^2. Isso se parece com raiza^2 - x^2, onde a = 2. Para esse tipo de expressão, a substituição trigonométrica recomendada é:
x = a sin theta
Então, aqui podemos definir:
x = 2 sin theta

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o diferencial dx em termos de theta. Derivando ambos os lados da substituição:
dx = 2 cos theta , dtheta

Passo 4

Vamos substituir x e dx na integral original:
I = integral dxx^2 raiz4 - x^2 = integral 2 cos theta , dtheta(2 sin theta)^2 raiz4 - (2 sin theta)^2

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da raiz:
raiz4 - 4 sin^2 theta = raiz4(1 - sin^2 theta) = raiz4 cos^2 theta = 2 cos theta
Substituindo de volta na integral:
I = integral 2 cos theta , dtheta4 sin^2 theta cdot 2 cos theta = integral 2 cos theta8 sin^2 theta cos theta , dtheta = integral 28 sin^2 theta , dtheta = 14 integral csc^2 theta , dtheta

Passo 6

Sabemos que a integral de csc^2 theta é - cot theta. Então:
I = 14 ( - cot theta ) + C = -14 cot theta + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original x. Sabemos que:
x = 2 sin theta implies sin theta = x2
Desenhando um triângulo retângulo para encontrar cot theta:
  • O lado oposto a theta é x.
  • A hipotenusa é 2.
  • O lado adjacente é raiz4 - x^2.
Então:
cot theta = cos thetasin theta = raiz4 - x^2x

Resposta

Substituindo de volta, temos:
I = -14 cdot raiz4 - x^2x + C
Onde C é a constante de integração.

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