Sejam
conjuntos tais que
para todo
. Prove que
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma sequência de 98 conjuntos,
, onde cada conjunto está contido no próximo, ou seja,
para todo
. O que precisamos provar é que a união de todos esses conjuntos,
, é igual ao último conjunto da sequência,
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de teoria dos conjuntos, especificamente sobre união de conjuntos e relações de inclusão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que todo elemento que está em
também está em
. Por exemplo, se
pertence a
, então
também pertence a
, e assim por diante, até
.
Passo 3
Agora, vamos pensar na união dos conjuntos,
. A união de conjuntos inclui todos os elementos que estão em pelo menos um dos conjuntos. Mas como cada conjunto está contido no próximo, todos os elementos que estão em
já estão em
, todos em
já estão em
, e assim por diante, até
.
Passo 4
Isso significa que todos os elementos da união
já estão em
. Além disso,
obviamente está contido na união, porque ele faz parte dela. Então, temos que cada lado está contido no outro.
Resposta
Portanto, concluímos que