Sejam A1, A2, ..., A98 conjuntos tais que A_i subset A_{i+1} para todo i = 1, ..., 97. Prove que A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ A98 = A98.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma sequência de 98 conjuntos, , onde cada conjunto está contido no próximo, ou seja, para todo . O que precisamos provar é que a união de todos esses conjuntos, , é igual ao último conjunto da sequência, .
Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de teoria dos conjuntos, especificamente sobre união de conjuntos e relações de inclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que todo elemento que está em também está em . Por exemplo, se pertence a , então também pertence a , e assim por diante, até .

Passo 3

Agora, vamos pensar na união dos conjuntos, . A união de conjuntos inclui todos os elementos que estão em pelo menos um dos conjuntos. Mas como cada conjunto está contido no próximo, todos os elementos que estão em já estão em , todos em já estão em , e assim por diante, até .

Passo 4

Isso significa que todos os elementos da união já estão em . Além disso, obviamente está contido na união, porque ele faz parte dela. Então, temos que cada lado está contido no outro.

Resposta

Portanto, concluímos que

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