Calcule as integrais por substituição trigonométrica (Leithold página 550)
I=integral d xraiz4 x+x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é sobre substituição trigonométrica. A questão é calcular:
I = integral dxraiz4x + x^2
Para isso, vamos precisar entender um pouco de trigonometria e substituições que facilitam a resolução de integrais envolvendo raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar a substituição trigonométrica. Observe que:
4x + x^2 = x^2 + 4x
Podemos completar o quadrado para reescrever essa expressão de uma forma que se pareça com uma identidade trigonométrica conhecida. Para completar o quadrado:
x^2 + 4x = x^2 + 4x + 4 - 4 = (x + 2)^2 - 4
Então, temos:
raiz4x + x^2 = raiz(x + 2)^2 - 4

Passo 3

Agora, reconhecemos que a expressão dentro da raiz se parece com a identidade trigonométrica:
a^2 - b^2 = a^2 cos^2 theta
Para facilitar a substituição, vamos fazer:
x + 2 = 2 sec theta
Isso significa que:
dx = 2 sec theta tan theta , dtheta

Passo 4

Substituindo x + 2 = 2 sec theta na integral original:
I = integral 2 sec theta tan theta , dthetaraiz(2 sec theta)^2 - 4 = integral 2 sec theta tan theta , dthetaraiz4 sec^2 theta - 4
Simplificando dentro da raiz:
raiz4 sec^2 theta - 4 = raiz4 (sec^2 theta - 1) = raiz4 tan^2 theta = 2 tan theta

Passo 5

Agora, nossa integral fica:
I = integral 2 sec theta tan theta , dtheta2 tan theta = integral sec theta , dtheta
E sabemos que a integral de sec theta é:
integral sec theta , dtheta = ln |sec theta + tan theta| + C

Passo 6

Agora, precisamos voltar para a variável original x. Lembrando que fizemos a substituição:
x + 2 = 2 sec theta Rightarrow sec theta = x + 22
E sabemos que:
tan theta = raizsec^2 theta - 1 = raiz(x + 22)^2 - 1 = raiz(x + 2)^2 - 42
Que simplifica para:
tan theta = raizx^2 + 4x2

Passo 7

Substituindo de volta na solução da integral:
I = ln | x + 22 + raizx^2 + 4x2 | + C = ln | x + 2 + raizx^2 + 4x2 | + C
Podemos simplificar removendo o denominador dentro do logaritmo:
I = ln |x + 2 + raizx^2 + 4x| - ln 2 + C
Como C é uma constante arbitrária, podemos absorver -ln 2 em C, deixando:

Resposta

I = ln |x + 2 + raizx^2 + 4x| + C

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