Calcule as integrais por substituição trigonométrica (Leithold página 550)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é sobre substituição trigonométrica. A questão é calcular:
Para isso, vamos precisar entender um pouco de trigonometria e substituições que facilitam a resolução de integrais envolvendo raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar a substituição trigonométrica. Observe que:
Podemos completar o quadrado para reescrever essa expressão de uma forma que se pareça com uma identidade trigonométrica conhecida. Para completar o quadrado:
Então, temos:

Passo 3

Agora, reconhecemos que a expressão dentro da raiz se parece com a identidade trigonométrica:
Para facilitar a substituição, vamos fazer:
Isso significa que:

Passo 4

Substituindo na integral original:
Simplificando dentro da raiz:

Passo 5

Agora, nossa integral fica:
E sabemos que a integral de é:

Passo 6

Agora, precisamos voltar para a variável original . Lembrando que fizemos a substituição:
E sabemos que:
Que simplifica para:

Passo 7

Substituindo de volta na solução da integral:
Podemos simplificar removendo o denominador dentro do logaritmo:
Como é uma constante arbitrária, podemos absorver em , deixando:

Resposta

Exercícios relacionados

Sejam e conjuntos. As proposições abaixo podem ser verdadeiras ou falsas. Se for verdadeira, prove-as. Caso sejam falsas apresente um contraexemplo (isto é, um exemplo que comprova sua falsidade).
(a) .
(b) .
© .
(d) .
(e) .
(f) .
(g) .
(h) .
(i) .
os seguintes conjuntos explicitando os seus elementos:
(a)
(b)
© ;
(d) .
(e) .
Partindo do fato de que o produto de inteiros resulta em um número inteiro, mostre que o produto de números racionais resulta em um número racional.