Calcule as integrais por substituição trigonométrica (Leithold página 550)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral que é sobre substituição trigonométrica. A questão é calcular:
Para isso, vamos precisar entender um pouco de trigonometria e substituições que facilitam a resolução de integrais envolvendo raízes quadradas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar a substituição trigonométrica. Observe que:
Podemos completar o quadrado para reescrever essa expressão de uma forma que se pareça com uma identidade trigonométrica conhecida. Para completar o quadrado:
Então, temos:
Passo 3
Agora, reconhecemos que a expressão dentro da raiz se parece com a identidade trigonométrica:
Para facilitar a substituição, vamos fazer:
Isso significa que:
Passo 4
Substituindo na integral original:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 5
Agora, nossa integral fica:
E sabemos que a integral de é:
Passo 6
Agora, precisamos voltar para a variável original . Lembrando que fizemos a substituição:
E sabemos que:
Que simplifica para:
Passo 7
Substituindo de volta na solução da integral:
Podemos simplificar removendo o denominador dentro do logaritmo:
Como é uma constante arbitrária, podemos absorver em , deixando: