Partindo do fato de que o produto de inteiros resulta em um número inteiro, mostre que o produto de números racionais resulta em um número racional.
Passo 1
Vamos resolver esse exercício que está na área da Matemática, mais especificamente sobre números racionais e inteiros. Precisamos mostrar que quando multiplicamos dois números racionais, o resultado também é um número racional. Para isso, vamos lembrar das definições de números racionais e inteiros e usar a propriedade que o produto de inteiros é inteiro.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um número racional. Um número racional é qualquer número que pode ser expresso como uma fração, onde o numerador e o denominador são inteiros e o denominador é diferente de zero. Por exemplo,
, onde
e
são inteiros e
.
Passo 3
Vamos considerar dois números racionais quaisquer:
onde
são inteiros e
e
.
Passo 4
Agora, vamos multiplicar esses dois números racionais:
Passo 5
Observamos que
e
são produtos de inteiros. Sabemos, conforme o enunciado, que o produto de inteiros é sempre um inteiro. Portanto,
é um inteiro e
também é um inteiro diferente de zero (já que
e
não são zero).
Passo 6
Assim, a fração
é formada por dois inteiros, com o denominador diferente de zero. Isso significa que o resultado da multiplicação de dois números racionais é, sim, um número racional.
Resposta
Portanto, mostramos que o produto de dois números racionais resulta em um número racional.