Partindo do fato de que o produto de inteiros resulta em um número inteiro, mostre que o produto de números racionais resulta em um número racional.
Passo 1
Vamos resolver esse exercício que está na área da Matemática, mais especificamente sobre números racionais e inteiros. Precisamos mostrar que quando multiplicamos dois números racionais, o resultado também é um número racional. Para isso, vamos lembrar das definições de números racionais e inteiros e usar a propriedade que o produto de inteiros é inteiro.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um número racional. Um número racional é qualquer número que pode ser expresso como uma fração, onde o numerador e o denominador são inteiros e o denominador é diferente de zero. Por exemplo,
, onde
e
são inteiros e
.
Passo 3
Vamos considerar dois números racionais quaisquer:
onde
são inteiros e
e
.
Passo 4
Agora, vamos multiplicar esses dois números racionais:
Passo 5
Observamos que
e
são produtos de inteiros. Sabemos, conforme o enunciado, que o produto de inteiros é sempre um inteiro. Portanto,
é um inteiro e
também é um inteiro diferente de zero (já que
e
não são zero).
Passo 6
Assim, a fração
é formada por dois inteiros, com o denominador diferente de zero. Isso significa que o resultado da multiplicação de dois números racionais é, sim, um número racional.
Resposta
Portanto, mostramos que o produto de dois números racionais resulta em um número racional.
Exercícios relacionados
os seguintes conjuntos explicitando os seus elementos:
(a)
(b)
© ;
(d) .
(e) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Calcule as integrais por substituição trigonométrica (Leithold página 550)
Escreva os conjuntos abaixo utilizando notação de intervalo. Em seguinda, represente-os graficamente.
(a) ;
(b) ;
© ou
;
(d) e
.
(e) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Calcule as seguintes integrais complexas:
(a) , onde
é a circunferência unitária centrada em
com orientação antihorária.
Resposta:
(b) , onde
é o quadrado unitário centrado em
com orientação antihorária;
(a)
Resposta:
(b)
[^4]
©
, onde
é o retângulo com vértices
com orientação anti-horária;;
(d) , onde
é a circunferência centrada em
e raio 3 com orientação anti-horária. Resposta:
(e) , onde
é a circunferência centrada em
e raio 3 , com orientação anti-horária. Resposta:
(f) , onde
é a circunferência centrada em 0 e raio 2 , com orientação anti-horária; Resposta:
(g) , onde
é a circunferência unitária centrada em 0 , com orientação antihorária. Resposta:
.
Sugestão para os itens (b), © e (g): A função não é holomorfa (em
), conforme o segundo exemplo da subseção 2.2.2.
(d)
(e)
(f)
(g)
Sugestão para os itens (b), © e (g): A função