Partindo do fato de que o produto de inteiros resulta em um número inteiro, mostre que o produto de números racionais resulta em um número racional.

Passo 1

Vamos resolver esse exercício que está na área da Matemática, mais especificamente sobre números racionais e inteiros. Precisamos mostrar que quando multiplicamos dois números racionais, o resultado também é um número racional. Para isso, vamos lembrar das definições de números racionais e inteiros e usar a propriedade que o produto de inteiros é inteiro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um número racional. Um número racional é qualquer número que pode ser expresso como uma fração, onde o numerador e o denominador são inteiros e o denominador é diferente de zero. Por exemplo, , onde e são inteiros e .

Passo 3

Vamos considerar dois números racionais quaisquer:
onde são inteiros e e .

Passo 4

Agora, vamos multiplicar esses dois números racionais:

Passo 5

Observamos que e são produtos de inteiros. Sabemos, conforme o enunciado, que o produto de inteiros é sempre um inteiro. Portanto, é um inteiro e também é um inteiro diferente de zero (já que e não são zero).

Passo 6

Assim, a fração é formada por dois inteiros, com o denominador diferente de zero. Isso significa que o resultado da multiplicação de dois números racionais é, sim, um número racional.

Resposta

Portanto, mostramos que o produto de dois números racionais resulta em um número racional.

Exercícios relacionados

os seguintes conjuntos explicitando os seus elementos:
(a)
(b)
© ;
(d) .
(e) .
Calcule as integrais por substituição trigonométrica (Leithold página 550)
Escreva os conjuntos abaixo utilizando notação de intervalo. Em seguinda, represente-os graficamente.
(a) ;
(b) ;
© ou ;
(d) e .
(e) .
Calcule as seguintes integrais complexas:
(a) , onde é a circunferência unitária centrada em com orientação antihorária.
Resposta:
(b) , onde é o quadrado unitário centrado em com orientação antihorária;
[^4]
© , onde é o retângulo com vértices com orientação anti-horária;;
(d) , onde é a circunferência centrada em e raio 3 com orientação anti-horária. Resposta:
(e) , onde é a circunferência centrada em e raio 3 , com orientação anti-horária. Resposta:
(f) , onde é a circunferência centrada em 0 e raio 2 , com orientação anti-horária; Resposta:
(g) , onde é a circunferência unitária centrada em 0 , com orientação antihorária. Resposta: .
Sugestão para os itens (b), © e (g): A função não é holomorfa (em ), conforme o segundo exemplo da subseção 2.2.2.