Seja
.
(a) Via
calcule
(b) Pelo item (a) dessa questão e pela observação 9,
deduza o valor da integral
© Obtenha os valores de
(a) Via
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão envolve integração complexa, especificamente uma integral de contorno sobre o círculo unitário no plano complexo. Vamos precisar entender como calcular integrais de funções de
ao longo de contornos fechados e usar algumas propriedades de funções trigonométricas para as partes seguintes.
Passo 2
Primeiro, vamos focar no item (a). A integral que precisamos calcular é:
Onde
é o contorno do círculo unitário
e
é um número natural.
Passo 3
Para resolver essa integral, vamos expandir a expressão
usando o binômio de Newton. Isso nos dará uma soma de termos com potências de
e
.
Passo 4
Depois de expandir, a integral se torna uma soma de integrais da forma:
Sabemos que, por uma propriedade das integrais de contorno, essa integral será zero a menos que
, ou seja,
. Nesse caso, a integral será
.
Passo 5
Portanto, para encontrar o valor da integral original, precisamos identificar quais termos na expansão de
têm potência
(ou seja, termos que se cancelam). Isso ocorre quando o número de
iguala o número de
.
Passo 6
Usando a combinação do binômio, o coeficiente do termo
será
. Assim, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos para o item (b). Queremos usar o resultado do item (a) para calcular as integrais de funções trigonométricas:
Aqui, vamos relacionar a integral complexa com integrais reais usando a identidade
, onde
varia de
a
.
Passo 8
Usando a substituição
, temos
, e
. Além disso,
.
Passo 9
Substituindo na integral do item (a), conseguimos relacionar a integral complexa com as integrais de
e
. Observando que as funções seno e cosseno são simétricas, concluímos que ambas as integrais serão iguais.
Passo 10
Assim, cada uma das integrais será:
Passo 11
Finalmente, vamos para o item ©. Queremos calcular as integrais de
e
de
a
.
Passo 12
Observe que
e
são funções ímpares em relação a
. Integrando de
a
, as partes positivas e negativas se cancelam.
Passo 13
Portanto, ambas as integrais serão iguais a zero porque a área positiva e negativa se anula.
Resposta
Ambas as integrais valem zero.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais por substituição trigonométrica (Leithold página 550)
Calcule a integral
, onde
é a circunferência unitária centrada em 0 , com orientação antihorária.
Descreva os seguintes conjuntos por meio de uma propriedade:
(a) ;
(b) ;
©
(d)
(e)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Determine o raio de convergência
da série:
, onde
é um polinômio;