Seja .
(a) Via calcule
(b) Pelo item (a) dessa questão e pela observação 9, deduza o valor da integral
© Obtenha os valores de

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão envolve integração complexa, especificamente uma integral de contorno sobre o círculo unitário no plano complexo. Vamos precisar entender como calcular integrais de funções de ao longo de contornos fechados e usar algumas propriedades de funções trigonométricas para as partes seguintes.

Passo 2

Primeiro, vamos focar no item (a). A integral que precisamos calcular é:
Onde é o contorno do círculo unitário e é um número natural.

Passo 3

Para resolver essa integral, vamos expandir a expressão usando o binômio de Newton. Isso nos dará uma soma de termos com potências de e .

Passo 4

Depois de expandir, a integral se torna uma soma de integrais da forma:
Sabemos que, por uma propriedade das integrais de contorno, essa integral será zero a menos que , ou seja, . Nesse caso, a integral será .

Passo 5

Portanto, para encontrar o valor da integral original, precisamos identificar quais termos na expansão de têm potência (ou seja, termos que se cancelam). Isso ocorre quando o número de iguala o número de .

Passo 6

Usando a combinação do binômio, o coeficiente do termo será . Assim, a integral fica:

Passo 7

Agora, vamos para o item (b). Queremos usar o resultado do item (a) para calcular as integrais de funções trigonométricas:
Aqui, vamos relacionar a integral complexa com integrais reais usando a identidade , onde varia de a .

Passo 8

Usando a substituição , temos , e . Além disso, .

Passo 9

Substituindo na integral do item (a), conseguimos relacionar a integral complexa com as integrais de e . Observando que as funções seno e cosseno são simétricas, concluímos que ambas as integrais serão iguais.

Passo 10

Assim, cada uma das integrais será:

Passo 11

Finalmente, vamos para o item ©. Queremos calcular as integrais de e de a .

Passo 12

Observe que e são funções ímpares em relação a . Integrando de a , as partes positivas e negativas se cancelam.

Passo 13

Portanto, ambas as integrais serão iguais a zero porque a área positiva e negativa se anula.

Resposta

Ambas as integrais valem zero.

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Descreva os seguintes conjuntos por meio de uma propriedade:
(a) ;
(b) ;
©
(d)
(e)
Determine o raio de convergência da série: , onde é um polinômio;