Calcule as integrais de superfície onde é a porção do cilindro , situada no primeiro octante, entre os planos .
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é uma integral de superfície para calcular. A integral é , onde é a parte do cilindro definido por , que está no primeiro octante (onde , , são positivos) e limitado pelos planos , , e . Vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente integrais de superfície, e entender como parametrizar a superfície do cilindro para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma da superfície . O cilindro é dado por . Como estamos no primeiro octante e limitado por , isso significa que varia de 0 a 1 (já que ). O plano é a base inferior e é a base superior da superfície.
Passo 3
Para calcular a integral de superfície, precisamos parametrizar a superfície . Vamos usar e como parâmetros. Então, podemos expressar em termos de : . Portanto, a parametrização fica:
onde varia de 0 a 1 e varia de 0 a 5.
Passo 4
Agora, vamos calcular os vetores tangentes e :
Em seguida, calculamos o produto vetorial desses vetores tangentes para encontrar o vetor normal à superfície:
O módulo desse vetor é necessário para a integral de superfície:
Passo 5
Agora, substituímos a parametrização na função que vamos integrar, que é . Como na parametrização, temos:
Então, a integral de superfície fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em primeiro:
Agora, substituímos de volta na integral:
Passo 7
Vamos resolver a integral em . Para isso, fazemos uma substituição: