Calcule as integrais de superfície onde é a porção do cilindro , situada no primeiro octante, entre os planos .
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é uma integral de superfície para calcular. A integral é , onde é a parte do cilindro definido por , que está no primeiro octante (onde , , são positivos) e limitado pelos planos , , e . Vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente integrais de superfície, e entender como parametrizar a superfície do cilindro para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma da superfície . O cilindro é dado por . Como estamos no primeiro octante e limitado por , isso significa que varia de 0 a 1 (já que ). O plano é a base inferior e é a base superior da superfície.
Passo 3
Para calcular a integral de superfície, precisamos parametrizar a superfície . Vamos usar e como parâmetros. Então, podemos expressar em termos de : . Portanto, a parametrização fica:
onde varia de 0 a 1 e varia de 0 a 5.
Passo 4
Agora, vamos calcular os vetores tangentes e :
Em seguida, calculamos o produto vetorial desses vetores tangentes para encontrar o vetor normal à superfície:
O módulo desse vetor é necessário para a integral de superfície:
| ry times rz | = raiz1^2 + (-2y)^2 + 0^2 = raiz1 + 4y^2
Passo 5
Agora, substituímos a parametrização na função que vamos integrar, que é x zy. Como x = y^2 na parametrização, temos:
x zy = y^2 zy = y z
Então, a integral de superfície fica:
integral duplaS x zy , dS = integral0^1 integral0^5 y z raiz1 + 4y^2 , dz , dy
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em z primeiro:
integral0^5 y z raiz1 + 4y^2 , dz = y raiz1 + 4y^2 integral0^5 z , dz = y raiz1 + 4y^2 [ z^22 ]0^5 = y raiz1 + 4y^2 cdot 252 = 252 y raiz1 + 4y^2
Agora, substituímos de volta na integral:
integral duplaS x zy , dS = 252 integral0^1 y raiz1 + 4y^2 , dy
Passo 7
Vamos resolver a integral em y. Para isso, fazemos uma substituição:
u = 1 + 4y^2 Rightarrow du = 8y , dy Rightarrow y , dy = du8
Quando y = 0, u = 1; quando y = 1, u = 5. Então, a integral se torna: