Calcule as integrais de superfície onde é a porção do cilindro , situada no primeiro octante, entre os planos .

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é uma integral de superfície para calcular. A integral é , onde é a parte do cilindro definido por , que está no primeiro octante (onde , , são positivos) e limitado pelos planos , , e . Vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente integrais de superfície, e entender como parametrizar a superfície do cilindro para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma da superfície . O cilindro é dado por . Como estamos no primeiro octante e limitado por , isso significa que varia de 0 a 1 (já que ). O plano é a base inferior e é a base superior da superfície.

Passo 3

Para calcular a integral de superfície, precisamos parametrizar a superfície . Vamos usar e como parâmetros. Então, podemos expressar em termos de : . Portanto, a parametrização fica:
onde varia de 0 a 1 e varia de 0 a 5.

Passo 4

Agora, vamos calcular os vetores tangentes e :
Em seguida, calculamos o produto vetorial desses vetores tangentes para encontrar o vetor normal à superfície:
O módulo desse vetor é necessário para a integral de superfície:

Passo 5

Agora, substituímos a parametrização na função que vamos integrar, que é . Como na parametrização, temos:
Então, a integral de superfície fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em primeiro:
Agora, substituímos de volta na integral:

Passo 7

Vamos resolver a integral em . Para isso, fazemos uma substituição:
Quando , ; quando , . Então, a integral se torna:

Resposta

A integral de superfície vale .

Exercícios relacionados

Mostre que
Calcule as integrais de superfície onde é o círculo paralelo ao plano , de centro e raio 2.
Verifique se a sequência onde é convergente. Em caso afirmativo, encontre o limite.
Considere a sequência onde . Prove que converge.