Calcule as integrais de superfície integral dupla e x zy d S onde S é a porção do cilindro x=y^2, situada no primeiro octante, entre os planos z=0, z=5, x=1.

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é uma integral de superfície para calcular. A integral é integral duplae x zy , dS, onde S é a parte do cilindro definido por x = y^2, que está no primeiro octante (onde x, y, z são positivos) e limitado pelos planos z=0, z=5, e x=1. Vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente integrais de superfície, e entender como parametrizar a superfície do cilindro para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma da superfície S. O cilindro é dado por x = y^2. Como estamos no primeiro octante e limitado por x=1, isso significa que y varia de 0 a 1 (já que x = y^2 <= 1). O plano z=0 é a base inferior e z=5 é a base superior da superfície.

Passo 3

Para calcular a integral de superfície, precisamos parametrizar a superfície S. Vamos usar y e z como parâmetros. Então, podemos expressar x em termos de y: x = y^2. Portanto, a parametrização fica:
r(y, z) = (y^2, y, z)
onde y varia de 0 a 1 e z varia de 0 a 5.

Passo 4

Agora, vamos calcular os vetores tangentes ry e rz:
ry = partial rpartial y = (2y, 1, 0)
rz = partial rpartial z = (0, 0, 1)
Em seguida, calculamos o produto vetorial desses vetores tangentes para encontrar o vetor normal à superfície:
ry times rz = i & j & k 2y & 1 & 0 0 & 0 & 1 = (1 cdot 1 - 0 cdot 0)i - (2y cdot 1 - 0 cdot 0)j + (2y cdot 0 - 1 cdot 0)k = i - 2y,j
O módulo desse vetor é necessário para a integral de superfície:
| ry times rz | = raiz1^2 + (-2y)^2 + 0^2 = raiz1 + 4y^2

Passo 5

Agora, substituímos a parametrização na função que vamos integrar, que é x zy. Como x = y^2 na parametrização, temos:
x zy = y^2 zy = y z
Então, a integral de superfície fica:
integral duplaS x zy , dS = integral0^1 integral0^5 y z raiz1 + 4y^2 , dz , dy

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em z primeiro:
integral0^5 y z raiz1 + 4y^2 , dz = y raiz1 + 4y^2 integral0^5 z , dz = y raiz1 + 4y^2 [ z^22 ]0^5 = y raiz1 + 4y^2 cdot 252 = 252 y raiz1 + 4y^2
Agora, substituímos de volta na integral:
integral duplaS x zy , dS = 252 integral0^1 y raiz1 + 4y^2 , dy

Passo 7

Vamos resolver a integral em y. Para isso, fazemos uma substituição:
u = 1 + 4y^2 Rightarrow du = 8y , dy Rightarrow y , dy = du8
Quando y = 0, u = 1; quando y = 1, u = 5. Então, a integral se torna:
252 integral1^5 raizu cdot du8 = 2516 integral1^5 u^1/2 , du = 2516 [ 23 u^3/2 ]1^5 = 2516 cdot 23 (5^3/2 - 1^3/2) = 2524 (5raiz5 - 1)

Resposta

A integral de superfície vale 2524 (5raiz5 - 1).

Exercícios relacionados