Mostre que

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para mostrar que . Aqui, estamos falando de supremum, que é o menor número que é maior ou igual a todos os elementos de um conjunto. O conteúdo envolve teoria de conjuntos e propriedades de supremum. Para resolver, vamos precisar entender como funciona a soma de conjuntos e as propriedades do supremo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que significa o conjunto de todas as somas possíveis de um elemento de com um elemento de . Ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos definir e . O é o menor número que é maior ou igual a todo elemento de , e o mesmo vale para .

Passo 4

Queremos mostrar que o maior número que limita é a soma dos maiores limites de e . Para isso, vamos provar duas coisas:
  1. é um limite para .
  2. Nenhum número menor que pode ser um limite para .

Passo 5

Primeiro, vamos mostrar que é um limite para . Para qualquer e , temos e . Então, . Isso significa que todo elemento de é menor ou igual a , então é um limite superior para .

Passo 6

Agora, vamos provar que é o menor desses limites. Suponha que exista um número menor que que também seja um limite para . Isso significaria que poderíamos encontrar elementos de e que somados excedem esse número, o que contraria a definição de supremo de e . Portanto, é realmente o menor limite possível.

Resposta

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Determine a area das superfícies .
Calcule as integrais de superfície onde é a porção do cilindro , situada no primeiro octante, entre os planos .
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