Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para mostrar que
. Aqui, estamos falando de supremum, que é o menor número que é maior ou igual a todos os elementos de um conjunto. O conteúdo envolve teoria de conjuntos e propriedades de supremum. Para resolver, vamos precisar entender como funciona a soma de conjuntos e as propriedades do supremo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
significa o conjunto de todas as somas possíveis de um elemento de
com um elemento de
. Ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos definir
e
. O
é o menor número que é maior ou igual a todo elemento de
, e o mesmo vale para
.
Passo 4
Queremos mostrar que o maior número que limita
é a soma dos maiores limites de
e
. Para isso, vamos provar duas coisas:
-
é um limite para . - Nenhum número menor que
pode ser um limite para .
Passo 5
Primeiro, vamos mostrar que
é um limite para
. Para qualquer
e
, temos
e
. Então,
. Isso significa que todo elemento de
é menor ou igual a
, então
é um limite superior para
.
Passo 6
Agora, vamos provar que
é o menor desses limites. Suponha que exista um número menor que
que também seja um limite para
. Isso significaria que poderíamos encontrar elementos de
e
que somados excedem esse número, o que contraria a definição de supremo de
e
. Portanto,
é realmente o menor limite possível.
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule as integrais de superfície
onde
é o círculo paralelo ao plano
, de centro
e raio 2.
Determine a area das superfícies
.
Calcule as integrais de superfície
onde
é a porção do cilindro
, situada no primeiro octante, entre os planos
.
Verifique se a sequência
onde
é convergente. Em caso afirmativo, encontre o limite.