Calcule as integrais de superfície onde é o círculo paralelo ao plano , de centro e raio 2.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de superfície , onde é um círculo paralelo ao plano , com centro em e raio 2. Aqui, estamos lidando com integrais de superfície, que envolvem calcular a soma de uma função sobre uma superfície específica. Para resolver isso, precisaremos entender como parametrizar a superfície e aplicar a fórmula da integral de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a superfície . Como é um círculo paralelo ao plano e está centrado em com raio 2, isso significa que a superfície está no plano . Portanto, todos os pontos em têm a coordenada .
Passo 3
Agora, precisamos parametrizar o círculo . Como está no plano , podemos usar coordenadas polares para facilitar a integração. Assim, podemos definir:
onde varia de 0 a 2 (o raio do círculo) e varia de 0 a .
Passo 4
Em seguida, vamos determinar o elemento de área . Para uma superfície plana no plano , o elemento de área em coordenadas polares é dado por:
Isso porque estamos essencialmente somando anéis infinitesimais de raio e espessura ao redor do centro.
Passo 5
Agora, substituímos as expressões de , e na função que estamos integrando:
Portanto, a integral de superfície se torna:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Agora, distribuímos a integral dupla em duas integrais separadas:
Passo 7
Calculamos cada parte separadamente:
Primeira parte:
Isso porque a função cosseno é simétrica e sua integral completa sobre um período é zero.