Calcule as integrais de superfície integral duplaS(3 x+z) d S onde S é o círculo paralelo ao plano x y, de centro (0,0,2) e raio 2.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de superfície integral duplaS(3x + z) , dS, onde S é um círculo paralelo ao plano xy, com centro em (0,0,2) e raio 2. Aqui, estamos lidando com integrais de superfície, que envolvem calcular a soma de uma função sobre uma superfície específica. Para resolver isso, precisaremos entender como parametrizar a superfície e aplicar a fórmula da integral de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a superfície S. Como S é um círculo paralelo ao plano xy e está centrado em (0,0,2) com raio 2, isso significa que a superfície está no plano z = 2. Portanto, todos os pontos em S têm a coordenada z = 2.

Passo 3

Agora, precisamos parametrizar o círculo S. Como está no plano z = 2, podemos usar coordenadas polares para facilitar a integração. Assim, podemos definir:
x = r cos theta y = r sin theta z = 2
onde r varia de 0 a 2 (o raio do círculo) e theta varia de 0 a 2pi.

Passo 4

Em seguida, vamos determinar o elemento de área dS. Para uma superfície plana no plano z = constante, o elemento de área em coordenadas polares é dado por:
dS = r , dr , dtheta
Isso porque estamos essencialmente somando anéis infinitesimais de raio r e espessura dr ao redor do centro.

Passo 5

Agora, substituímos as expressões de x, y e z na função que estamos integrando:
3x + z = 3(r cos theta) + 2
Portanto, a integral de superfície se torna:
integral duplaS(3x + z) , dS = integral0^2pi integral0^2 [3r cos theta + 2] , r , dr , dtheta

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
integral0^2pi integral0^2 (3r^2 cos theta + 2r) , dr , dtheta
Agora, distribuímos a integral dupla em duas integrais separadas:
3 integral0^2pi cos theta , dtheta cdot integral0^2 r^2 , dr + 2 integral0^2pi dtheta cdot integral0^2 r , dr

Passo 7

Calculamos cada parte separadamente:
  1. Primeira parte:
integral0^2pi cos theta , dtheta = 0
Isso porque a função cosseno é simétrica e sua integral completa sobre um período é zero.
  1. Segunda parte:
integral0^2pi dtheta = 2pi
integral0^2 r , dr = r^22 |0^2 = 42 = 2
Portanto, a segunda parte é:
2 times 2pi times 2 = 8pi

Passo 8

Somando as duas partes, temos:
0 + 8pi = 8pi
Portanto, o valor da integral de superfície é 8pi.

Resposta

A integral de superfície integral duplaS(3x + z) , dS vale 8pi.

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