Calcule as integrais de superfície onde é o círculo paralelo ao plano , de centro e raio 2.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de superfície , onde é um círculo paralelo ao plano , com centro em e raio 2. Aqui, estamos lidando com integrais de superfície, que envolvem calcular a soma de uma função sobre uma superfície específica. Para resolver isso, precisaremos entender como parametrizar a superfície e aplicar a fórmula da integral de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a superfície . Como é um círculo paralelo ao plano e está centrado em com raio 2, isso significa que a superfície está no plano . Portanto, todos os pontos em têm a coordenada .

Passo 3

Agora, precisamos parametrizar o círculo . Como está no plano , podemos usar coordenadas polares para facilitar a integração. Assim, podemos definir:
onde varia de 0 a 2 (o raio do círculo) e varia de 0 a .

Passo 4

Em seguida, vamos determinar o elemento de área . Para uma superfície plana no plano , o elemento de área em coordenadas polares é dado por:
Isso porque estamos essencialmente somando anéis infinitesimais de raio e espessura ao redor do centro.

Passo 5

Agora, substituímos as expressões de , e na função que estamos integrando:
Portanto, a integral de superfície se torna:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Agora, distribuímos a integral dupla em duas integrais separadas:

Passo 7

Calculamos cada parte separadamente:
  1. Primeira parte:
Isso porque a função cosseno é simétrica e sua integral completa sobre um período é zero.
  1. Segunda parte:
Portanto, a segunda parte é:

Passo 8

Somando as duas partes, temos:
Portanto, o valor da integral de superfície é .

Resposta

A integral de superfície vale .

Exercícios relacionados

Determine a area das superfícies .
Prove que .
Mostre que
Calcule as integrais de superfície onde é a porção do cilindro , situada no primeiro octante, entre os planos .