Verifique se a sequência
onde
é convergente. Em caso afirmativo, encontre o limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a sequência
, onde
, converge. Se convergir, a gente também precisa encontrar o limite. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sequências e limites na matemática, especialmente como o seno se comporta com diferentes múltiplos de
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular alguns termos da sequência para ver se conseguimos perceber um padrão. Vamos substituir alguns valores de
:
-
Quando
: -
Quando
: -
Quando
: -
Quando
:
Passo 3
Observando esses cálculos, vemos que a sequência está alternando entre 1, 0, -1, 0 e assim por diante. Isso significa que os termos estão oscilando e não se estabilizando em um único valor.
Passo 4
Para que uma sequência seja convergente, ela precisa se aproximar cada vez mais de um único número à medida que
aumenta. No nosso caso, como os termos estão alternando entre 1, 0 e -1, eles não estão se aproximando de nenhum valor específico. Em vez disso, continuam pulando entre esses números indefinidamente.
Passo 5
Além disso, o limite de uma sequência, se existir, deve ser único. Como a nossa sequência não está se aproximando de um único valor, não podemos falar de um limite para ela.
Resposta
A sequência
, onde
, não é convergente, pois seus termos não se aproximam de um único valor conforme
aumenta.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais de superfície
onde
é a porção do cilindro
, situada no primeiro octante, entre os planos
.
Mostre que
Considere a sequência
onde
. Prove que
converge.
Esboce o gráfico do conjunto.