Verifique se a sequência onde é convergente. Em caso afirmativo, encontre o limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a sequência , onde , converge. Se convergir, a gente também precisa encontrar o limite. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sequências e limites na matemática, especialmente como o seno se comporta com diferentes múltiplos de .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular alguns termos da sequência para ver se conseguimos perceber um padrão. Vamos substituir alguns valores de :
  • Quando :
  • Quando :
  • Quando :
  • Quando :

Passo 3

Observando esses cálculos, vemos que a sequência está alternando entre 1, 0, -1, 0 e assim por diante. Isso significa que os termos estão oscilando e não se estabilizando em um único valor.

Passo 4

Para que uma sequência seja convergente, ela precisa se aproximar cada vez mais de um único número à medida que aumenta. No nosso caso, como os termos estão alternando entre 1, 0 e -1, eles não estão se aproximando de nenhum valor específico. Em vez disso, continuam pulando entre esses números indefinidamente.

Passo 5

Além disso, o limite de uma sequência, se existir, deve ser único. Como a nossa sequência não está se aproximando de um único valor, não podemos falar de um limite para ela.

Resposta

A sequência , onde , não é convergente, pois seus termos não se aproximam de um único valor conforme aumenta.

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Calcule as integrais de superfície onde é a porção do cilindro , situada no primeiro octante, entre os planos .
Mostre que
Considere a sequência onde . Prove que converge.
Esboce o gráfico do conjunto.