Considere a sequência onde . Prove que converge.

Passo 1

Vamos analisar o problema: temos a sequência e precisamos provar que a série infinita converge. Para isso, vamos utilizar o Teste da Série P, que nos ajuda a determinar a convergência de séries do tipo .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Série P. Esse teste afirma que a série converge se o valor de for maior que 1, ou seja, se . Caso contrário, a série diverge.

Passo 3

No nosso exercício, temos . Comparando com a forma geral do teste, vemos que . Como , de acordo com o Teste da Série P, a série deve convergir.

Passo 4

Para confirmar, podemos aplicar o teste de comparação. Sabemos que é menor que para todos os maiores que 1. Como a série diverge (é a série harmônica), mas nossa série está sendo comparada com uma que é menor e praticamente conhecida por convergir, isso reforça que também converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados

Verifique se a sequência onde é convergente. Em caso afirmativo, encontre o limite.
Calcule as integrais de superfície onde é a porção do cilindro , situada no primeiro octante, entre os planos .
Esboce o gráfico do conjunto.
Determine a area das superfícies Parte do plano limitada pela superfície cilíndrica .