Considere a sequência
onde
. Prove que
converge.
Passo 1
Vamos analisar o problema: temos a sequência
e precisamos provar que a série infinita
converge. Para isso, vamos utilizar o Teste da Série P, que nos ajuda a determinar a convergência de séries do tipo
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Série P. Esse teste afirma que a série
converge se o valor de
for maior que 1, ou seja, se
. Caso contrário, a série diverge.
Passo 3
No nosso exercício, temos
. Comparando com a forma geral do teste, vemos que
. Como
, de acordo com o Teste da Série P, a série
deve convergir.
Passo 4
Para confirmar, podemos aplicar o teste de comparação. Sabemos que
é menor que
para todos os
maiores que 1. Como a série
diverge (é a série harmônica), mas nossa série está sendo comparada com uma que é menor e praticamente conhecida por convergir, isso reforça que
também converge.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
Verifique se a sequência
onde
é convergente. Em caso afirmativo, encontre o limite.
Calcule as integrais de superfície
onde
é a porção do cilindro
, situada no primeiro octante, entre os planos
.
Esboce o gráfico do conjunto.
Determine a area das superfícies Parte do plano
limitada pela superfície cilíndrica
.