Calcule as integrais de superfície integral duplaS 3raiz1+2 y^2 d S onde S é o gráfico da função g dada por g(x, y)=x+y^2, 0 <= x <= 1,0 <= y <= 13.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de superfície integral duplaS 3raiz1+2 y^2 d S, onde S é o gráfico da função g(x, y) = x + y^2, com x variando de 0 a 1 e y de 0 a 13. A matéria envolvida aqui é cálculo de integrais de superfície, e vamos precisar usar a fórmula para integrar sobre superfícies definidas por funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de superfície. Basicamente, ela nos permite somar valores de uma função ao longo de uma superfície no espaço tridimensional. No nosso caso, a superfície S é o gráfico da função g(x, y) = x + y^2.

Passo 3

Para calcular a integral de superfície, usamos a seguinte fórmula:
integral duplaS f(x, y, z) , dS = integral duplaD f(x, y, g(x,y)) raiz1 + (partial gpartial x)^2 + (partial gpartial y)^2 , dx , dy
Aqui, D é a região no plano xy sobre a qual a superfície está definida, e f(x, y, z) é a função que vamos integrar.

Passo 4

Vamos identificar cada parte:
  • Nossa função f(x, y, z) é 3raiz1+2 y^2.
  • A função que define a superfície é g(x, y) = x + y^2.
  • As derivadas parciais são:
    • partial gpartial x = 1
    • partial gpartial y = 2y

Passo 5

Substituindo na fórmula da integral de superfície:
integral duplaS 3raiz1+2 y^2 , dS = integral duplaD 3raiz1+2 y^2 raiz1 + (1)^2 + (2y)^2 , dx , dy
Simplificando dentro da raiz:
raiz1 + 1 + 4y^2 = raiz2 + 4y^2 = raiz2(1 + 2y^2) = raiz2 cdot raiz1 + 2y^2

Passo 6

Agora, substituímos de volta na integral:
integral duplaD 3raiz1+2 y^2 cdot raiz2 cdot raiz1 + 2y^2 , dx , dy
Perceba que 1raiz1+2 y^2 cdot raiz1 + 2y^2 = 1, então simplificamos para:
3raiz2 integral duplaD dx , dy

Passo 7

Agora, precisamos calcular a área da região D. Sabemos que x varia de 0 a 1 e y de 0 a 13. Então, a área é:
Área de D = (1 - 0) times (13 - 0) = 1 times 13 = 13 Á

Passo 8

Finalmente, multiplicamos:
3raiz2 times 13 = raiz2

Resposta

O valor da integral de superfície é raiz2.

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