Calcule as integrais de superfície onde é o gráfico da função dada por .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de superfície , onde é o gráfico da função , com variando de 0 a 1 e de 0 a . A matéria envolvida aqui é cálculo de integrais de superfície, e vamos precisar usar a fórmula para integrar sobre superfícies definidas por funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de superfície. Basicamente, ela nos permite somar valores de uma função ao longo de uma superfície no espaço tridimensional. No nosso caso, a superfície é o gráfico da função .

Passo 3

Para calcular a integral de superfície, usamos a seguinte fórmula:
Aqui, é a região no plano sobre a qual a superfície está definida, e é a função que vamos integrar.

Passo 4

Vamos identificar cada parte:
  • Nossa função é .
  • A função que define a superfície é .
  • As derivadas parciais são:

Passo 5

Substituindo na fórmula da integral de superfície:
Simplificando dentro da raiz:

Passo 6

Agora, substituímos de volta na integral:
Perceba que , então simplificamos para:

Passo 7

Agora, precisamos calcular a área da região . Sabemos que varia de 0 a 1 e de 0 a . Então, a área é:
Á

Passo 8

Finalmente, multiplicamos:

Resposta

O valor da integral de superfície é .

Exercícios relacionados

Seja
Determine e para que seja contínua e derivável no ponto .
Diga se as sentenças são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas. pts) .
Em cada um dos itens abaixo, use o exercício anterior para calcular a área da região dada.
(d) A região limitada pela elipse , onde .
Esboce a região delimitada pelas curvas.