Calcule as integrais de superfície
onde
é o gráfico da função
dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de superfície
, onde
é o gráfico da função
, com
variando de 0 a 1 e
de 0 a
. A matéria envolvida aqui é cálculo de integrais de superfície, e vamos precisar usar a fórmula para integrar sobre superfícies definidas por funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral de superfície. Basicamente, ela nos permite somar valores de uma função ao longo de uma superfície no espaço tridimensional. No nosso caso, a superfície
é o gráfico da função
.
Passo 3
Para calcular a integral de superfície, usamos a seguinte fórmula:
Aqui,
é a região no plano
sobre a qual a superfície está definida, e
é a função que vamos integrar.
Passo 4
Vamos identificar cada parte:
- Nossa função
é . - A função que define a superfície é
. - As derivadas parciais são:
-
Passo 5
Substituindo na fórmula da integral de superfície:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na integral:
Perceba que
, então simplificamos para:
Passo 7
Agora, precisamos calcular a área da região
. Sabemos que
varia de 0 a 1 e
de 0 a
. Então, a área é:
Passo 8
Finalmente, multiplicamos:
Resposta
O valor da integral de superfície é
.
Exercícios relacionados
Seja
Determine
e
para que
seja contínua e derivável no ponto
.
Diga se as sentenças são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas.
pts)
.
Em cada um dos itens abaixo, use o exercício anterior para calcular a área da região dada.
(d) A região limitada pela elipse , onde
.
(d) A região limitada pela elipse
Esboce a região delimitada pelas curvas.