Seja
Determine
e
para que
seja contínua e derivável no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma função que é definida de duas maneiras diferentes dependendo do valor de
. O objetivo aqui é encontrar os valores de
e
que fazem essa função ser contínua e derivável no ponto
. Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente sobre continuidade e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em
. Para isso, o limite quando
se aproxima de 1 pela esquerda (
) deve ser igual ao limite quando
se aproxima de 1 pela direita (
), e ambos devem ser iguais ao valor da função em
.
A parte da função para
é
. Vamos calcular
:
Agora, a parte da função para
é
. O limite quando
se aproxima de 1 pela direita é:
Para a continuidade:
Passo 3
Agora, vamos garantir que a função seja derivável em
. Isso significa que as derivadas das duas partes da função devem ser iguais em
.
Primeiro, derivamos
para
:
Então,
Agora, derivamos
para
:
Para que seja derivável:
Passo 4
Sabemos que
. Vamos usar essa informação na equação da continuidade que encontramos no Passo 2:
Resposta
Os valores são
e
.