Seja
f(x) = { x^2, x <= 1; a x + b, x > 1 }
Determine a e b para que f seja contínua e derivável no ponto x = 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função que é definida de duas maneiras diferentes dependendo do valor de . O objetivo aqui é encontrar os valores de e que fazem essa função ser contínua e derivável no ponto . Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente sobre continuidade e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em . Para isso, o limite quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ) deve ser igual ao limite quando se aproxima de 1 pela direita ( ), e ambos devem ser iguais ao valor da função em .
A parte da função para é . Vamos calcular :
Agora, a parte da função para é . O limite quando se aproxima de 1 pela direita é:
Para a continuidade:

Passo 3

Agora, vamos garantir que a função seja derivável em . Isso significa que as derivadas das duas partes da função devem ser iguais em .
Primeiro, derivamos para :
Então,
Agora, derivamos para :
Para que seja derivável:

Passo 4

Sabemos que . Vamos usar essa informação na equação da continuidade que encontramos no Passo 2:

Resposta

Os valores são e .

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