Diga se as sentenças são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas.
pts)
.
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: precisamos verificar se o limite
é igual a
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites, propriedades de exponenciais e logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento das partes da expressão quando
se aproxima de
pela direita. Sabemos que
tende a
quando
. Portanto, o expoente
tende a
.
Passo 3
Agora, olhamos para a base da potência:
. Quando
,
se aproxima de
. Então, temos uma expressão na forma
, que é uma indeterminação. Para resolver isso, precisamos analisar mais a fundo.
Passo 4
Para lidar com a indeterminação, vamos aplicar o logaritmo natural na expressão. Vamos chamar o limite de
:
Passo 5
Agora, precisamos calcular o limite de
quando
. Usando a aproximação de Taylor para
quando
é pequeno, temos
. Assim:
Passo 6
Analisando
, vemos que conforme
,
tende a
e
tende a
. Portanto, a fração
tende a
.
Passo 7
Como
, podemos encontrar
exponenciando ambos os lados:
Resposta
A sentença é falsa. O limite é igual a
, não a
.
Exercícios relacionados
Use fatoração para simplificar
.
Sejam
e
. Sem calcular
ou
, mostre que
.
Seja
Determine
e
para que
seja contínua e derivável no ponto
.
Calcule as integrais de superfície
onde
é o gráfico da função
dada por
.