Diga se as sentenças são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas. pts) .

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: precisamos verificar se o limite é igual a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites, propriedades de exponenciais e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento das partes da expressão quando se aproxima de pela direita. Sabemos que tende a quando . Portanto, o expoente tende a .

Passo 3

Agora, olhamos para a base da potência: . Quando , se aproxima de . Então, temos uma expressão na forma , que é uma indeterminação. Para resolver isso, precisamos analisar mais a fundo.

Passo 4

Para lidar com a indeterminação, vamos aplicar o logaritmo natural na expressão. Vamos chamar o limite de :

Passo 5

Agora, precisamos calcular o limite de quando . Usando a aproximação de Taylor para quando é pequeno, temos . Assim:

Passo 6

Analisando , vemos que conforme , tende a e tende a . Portanto, a fração tende a .

Passo 7

Como , podemos encontrar exponenciando ambos os lados:

Resposta

A sentença é falsa. O limite é igual a , não a .

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