Diga se as sentenças são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas. (2 pts) lim x 0+(x+1)^1ln x=e.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: precisamos verificar se o limite limx 0^+ (x + 1)^1ln x é igual a e. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites, propriedades de exponenciais e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento das partes da expressão quando x se aproxima de 0 pela direita. Sabemos que ln x tende a -infty quando x 0^+. Portanto, o expoente 1ln x tende a 0.

Passo 3

Agora, olhamos para a base da potência: x + 1. Quando x 0^+, x + 1 se aproxima de 1. Então, temos uma expressão na forma 1^0, que é uma indeterminação. Para resolver isso, precisamos analisar mais a fundo.

Passo 4

Para lidar com a indeterminação, vamos aplicar o logaritmo natural na expressão. Vamos chamar o limite de L:
L = limx 0^+ (x + 1)^1ln x ln L = limx 0^+ ln(x + 1)ln x

Passo 5

Agora, precisamos calcular o limite de ln(x + 1)ln x quando x 0^+. Usando a aproximação de Taylor para ln(1 + x) quando x é pequeno, temos ln(1 + x) approx x. Assim:
ln L approx limx 0^+ xln x

Passo 6

Analisando xln x, vemos que conforme x 0^+, x tende a 0 e ln x tende a -infty. Portanto, a fração xln x tende a 0.

Passo 7

Como ln L = 0, podemos encontrar L exponenciando ambos os lados:
L = e^0 = 1

Resposta

A sentença é falsa. O limite é igual a 1, não a e.

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