Esboce a região delimitada pelas curvas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar a região que fica entre as curvas
e
. Isso envolve um pouco de geometria analítica, especialmente o entendimento de gráficos de funções e como eles se interceptam. Para resolver, vamos precisar encontrar os pontos onde essas duas curvas se encontram e depois visualizar como elas se posicionam no plano cartesiano.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Isso significa resolver o sistema de equações formado por
e
.
Passo 3
Vamos usar a substituição para resolver o sistema. Da primeira equação, já temos
isolado:
Agora, substituímos esse valor de
na segunda equação:
Passo 4
Desenvolvendo a equação:
Agora, temos uma equação quadrática que podemos resolver.
Passo 5
Vamos resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
.
Calculando o discriminante:
Então,
Isso nos dá duas soluções:
Passo 6
Agora que temos os valores de
, vamos encontrar os correspondentes valores de
usando a primeira equação
.
Para
:
Para
:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 7
Agora, vamos analisar os gráficos das duas funções:
-
é uma parábola que abre para baixo, com vértice no ponto . -
pode ser reescrita como , que é uma reta com inclinação e intercepto no eixo em .
Passo 8
Com os pontos de interseção e os gráficos em mente, podemos esboçar a região delimitada:
- Desenhe a parábola
, que alcança seu ponto mais alto em e cruza o eixo em . - Desenhe a reta
, que passa pelos pontos e tem inclinação positiva. - Identifique os pontos de interseção
e . - A região delimitada fica entre essas duas curvas, limitada por esses pontos de interseção.
Resposta
A região delimitada pelas curvas
e
está compreendida entre os pontos de interseção
e
, formando uma área fechada onde a parábola e a reta se sobrepõem no plano cartesiano.
Exercícios relacionados
Em cada um dos itens abaixo, use o exercício anterior para calcular a área da região dada.
(d) A região limitada pela elipse , onde
.
(d) A região limitada pela elipse
Calcule as integrais de superfície
onde
é o gráfico da função
dada por
.
Determine o momento de inércia e o centro de massa da superfície homogênea, de massa
, de equação
, com
, em torno do eixo
.
e
onde
.
Determine uma parametrização das seguintes superfícies: Do parabolóide
.