Esboce a região delimitada pelas curvas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar a região que fica entre as curvas e . Isso envolve um pouco de geometria analítica, especialmente o entendimento de gráficos de funções e como eles se interceptam. Para resolver, vamos precisar encontrar os pontos onde essas duas curvas se encontram e depois visualizar como elas se posicionam no plano cartesiano.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Isso significa resolver o sistema de equações formado por e .

Passo 3

Vamos usar a substituição para resolver o sistema. Da primeira equação, já temos isolado:
Agora, substituímos esse valor de na segunda equação:

Passo 4

Desenvolvendo a equação:
Agora, temos uma equação quadrática que podemos resolver.

Passo 5

Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e .
Calculando o discriminante:
Então,
Isso nos dá duas soluções:

Passo 6

Agora que temos os valores de , vamos encontrar os correspondentes valores de usando a primeira equação .
Para :
Para :
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 7

Agora, vamos analisar os gráficos das duas funções:
  • é uma parábola que abre para baixo, com vértice no ponto .
  • pode ser reescrita como , que é uma reta com inclinação e intercepto no eixo em .

Passo 8

Com os pontos de interseção e os gráficos em mente, podemos esboçar a região delimitada:
  1. Desenhe a parábola , que alcança seu ponto mais alto em e cruza o eixo em .
  2. Desenhe a reta , que passa pelos pontos e tem inclinação positiva.
  3. Identifique os pontos de interseção e .
  4. A região delimitada fica entre essas duas curvas, limitada por esses pontos de interseção.

Resposta

A região delimitada pelas curvas e está compreendida entre os pontos de interseção e , formando uma área fechada onde a parábola e a reta se sobrepõem no plano cartesiano.

Exercícios relacionados

Em cada um dos itens abaixo, use o exercício anterior para calcular a área da região dada.
(d) A região limitada pela elipse , onde .
Calcule as integrais de superfície onde é o gráfico da função dada por .
Determine o momento de inércia e o centro de massa da superfície homogênea, de massa , de equação , com , em torno do eixo . e onde .
Determine uma parametrização das seguintes superfícies: Do parabolóide .