Calcule as seguintes integrais definidas.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral definida:
, onde
é um número inteiro positivo (
). Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente utilizando o método de integração por partes. Para isso, vamos precisar entender como aplicar essa técnica passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é integração por partes. A fórmula de integração por partes é dada por:
Essa fórmula nos ajuda a integrar produtos de funções, escolhendo adequadamente quais partes chamar de
e
.
Passo 3
Aplicando a integração por partes à nossa integral, vamos escolher:
Passo 4
Substituindo na fórmula de integração por partes:
Agora, temos uma nova integral para resolver:
. Vamos aplicar integração por partes novamente.
Passo 5
Para a nova integral
, escolhemos:
Passo 6
Aplicando integração por partes novamente:
A integral
é fácil de resolver:
Passo 7
Substituindo de volta:
Agora, voltamos à expressão anterior:
Passo 8
Simplificando a expressão:
Agora, precisamos avaliar essa antiderivada nos limites de integração de
a
.
Passo 9
Aplicando os limites de integração:
Vamos calcular cada termo separadamente:
- Para
:
Sabemos que
e
para qualquer inteiro
:
- Para
:
Passo 10
Subtraindo o valor em
do valor em
: