Calcule as seguintes integrais definidas.
© integral0^2 pi x^2 sen(k x) d x, k=1,2,3, ldots

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: , onde é um número inteiro positivo ( ). Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente utilizando o método de integração por partes. Para isso, vamos precisar entender como aplicar essa técnica passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é integração por partes. A fórmula de integração por partes é dada por:
integral u , dv = uv - integral v , du
Essa fórmula nos ajuda a integrar produtos de funções, escolhendo adequadamente quais partes chamar de e .

Passo 3

Aplicando a integração por partes à nossa integral, vamos escolher:
u = x^2 Rightarrow du = 2x , dx
dv = sin(kx) , dx Rightarrow v = -1k cos(kx)

Passo 4

Substituindo na fórmula de integração por partes:
integral x^2 sin(kx) , dx = uv - integral v , du = -x^2k cos(kx) + 2k integral x cos(kx) , dx
Agora, temos uma nova integral para resolver: . Vamos aplicar integração por partes novamente.

Passo 5

Para a nova integral u = x Rightarrow du = dx , escolhemos:
dv = cos(kx) , dx Rightarrow v = 1k sin(kx)

Passo 6

Aplicando integração por partes novamente:
integral x cos(kx) , dx = uv - integral v , du = xk sin(kx) - 1k integral sin(kx) , dx
A integral integral sin(kx) , dx = -1k cos(kx) + C é fácil de resolver:

Passo 7

Substituindo de volta:
integral x cos(kx) , dx = xk sin(kx) + 1k^2 cos(kx) + C
Agora, voltamos à expressão anterior:
integral x^2 sin(kx) , dx = -x^2k cos(kx) + 2k ( xk sin(kx) + 1k^2 cos(kx) ) + C

Passo 8

Simplificando a expressão:
integral x^2 sin(kx) , dx = -x^2k cos(kx) + 2xk^2 sin(kx) + 2k^3 cos(kx) + C
Agora, precisamos avaliar essa antiderivada nos limites de integração de a .

Passo 9

Aplicando os limites de integração:
[ -x^2k cos(kx) + 2xk^2 sin(kx) + 2k^3 cos(kx) ]0^2pi
Vamos calcular cada termo separadamente:
  • Para -(2pi)^2k cos(2pi k) + 2 cdot 2pik^2 sin(2pi k) + 2k^3 cos(2pi k) :
-(2pi)^2k cdot 1 + 4pik^2 cdot 0 + 2k^3 cdot 1 = -4pi^2k + 2k^3
Sabemos que -0^2k cos(0) + 2 cdot 0k^2 sin(0) + 2k^3 cos(0) = 0 + 0 + 2k^3 = 2k^3 e para qualquer inteiro :
  • Para :

Passo 10

Subtraindo o valor em ( -4pi^2k + 2k^3 ) - 2k^3 = -4pi^2k do valor em :

Resposta

integral0^2 pi x^2 sin(k x) , dx = -4pi^2k

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