Mostrar que:
(a) integral sin 2 x cos 5 x d x=0,
(b) integral cos 2 x cos 3 x d x=0,
© integral sin 5 x cos 2 x d x=0.
Sugestão: Usar as fórmulas
r sin m x sin n x=12[cos (m-n) x-cos (m+n) x], sin m x cos n x=12[sin (m+n) x+sin (m-n) x], cos m x cos n x=12[cos (m+n) x+cos (m-n) x],
onde m e n são dois inteiros quaisquer.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que o exercício tá pedindo. A gente precisa mostrar que as integrais de certas funções trigonométricas são iguais a zero. Isso envolve integração de funções como seno e cosseno multiplicados entre si. Para resolver isso, vamos usar umas fórmulas de identidade trigonométrica que ajudam a transformar o produto de seno e cosseno em somas ou diferenças de funções trigonométricas mais simples. Assim, fica mais fácil integrar e ver que o resultado final é zero.

Passo 2

Vamos começar com a primeira parte do exercício:
integral sin 2x cos 5x , dx = 0
Primeiro, usamos a fórmula que transforma o produto de seno e cosseno:
sin m x cos n x = 12 [sin(m + n)x + sin(m - n)x]
Aqui, sin 2x cos 5x = 12 [sin(2 + 5)x + sin(2 - 5)x] = 12 [sin 7x + sin(-3x)] e sin 2x cos 5x = 12 [sin 7x - sin 3x] . Aplicando a fórmula:
Como , temos:

Passo 3

Agora, vamos integrar a expressão que obtivemos:
integral sin 2x cos 5x , dx = 12 integral (sin 7x - sin 3x) , dx
A integral de 12 ( -cos 7x7 + cos 3x3 ) + C é integral sin 2x cos 5x , dx = 0 . Aplicando isso:
Onde é a constante de integração. Porém, se considerarmos uma integral definida em um intervalo completo de período, como de a , os termos de cosseno se cancelam, já que é uma função periódica e as integrais sobre um ciclo completo são zero.
Portanto,

Passo 4

Vamos passar para a segunda parte:
integral cos 2x cos 3x , dx = 0
Aqui, usamos a fórmula para o produto de dois cossenos:
cos m x cos n x = 12 [cos(m + n)x + cos(m - n)x]
Com cos 2x cos 3x = 12 [cos(2 + 3)x + cos(2 - 3)x] = 12 [cos 5x + cos(-x)] e cos 2x cos 3x = 12 [cos 5x + cos x] :
Sabendo que :

Passo 5

Agora, integramos a expressão:
integral cos 2x cos 3x , dx = 12 integral (cos 5x + cos x) , dx
A integral de 12 ( sin 5x5 + sin x1 ) + C é integral cos 2x cos 3x , dx = 0 . Assim:
Mais uma vez, ao considerar uma integral definida em um intervalo completo de período, como de a , as funções seno se cancelam, resultando em zero.
Logo,

Passo 6

Finalmente, a terceira parte:
integral sin 5x cos 2x , dx = 0
Usamos a fórmula para o produto de seno e cosseno:
sin m x cos n x = 12 [sin(m + n)x + sin(m - n)x]
Com sin 5x cos 2x = 12 [sin(5 + 2)x + sin(5 - 2)x] = 12 [sin 7x + sin 3x] e :

Passo 7

Integramos agora:
integral sin 5x cos 2x , dx = 12 integral (sin 7x + sin 3x) , dx
A integral de 12 ( -cos 7x7 - cos 3x3 ) + C é integral sin 5x cos 2x , dx = 0 . Portanto:
Novamente, em uma integral definida sobre um ciclo completo, como de a , os termos de cosseno se anulam.
Assim,

Resposta

Todas as integrais apresentadas são iguais a zero:
(a)
(b)
©

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