Mostrar que:
(a)
,
(b)
,
©
.
Sugestão: Usar as fórmulas
onde
e
são dois inteiros quaisquer.
(a)
(b)
©
Sugestão: Usar as fórmulas
Passo 1
Beleza, vamos ver o que o exercício tá pedindo. A gente precisa mostrar que as integrais de certas funções trigonométricas são iguais a zero. Isso envolve integração de funções como seno e cosseno multiplicados entre si. Para resolver isso, vamos usar umas fórmulas de identidade trigonométrica que ajudam a transformar o produto de seno e cosseno em somas ou diferenças de funções trigonométricas mais simples. Assim, fica mais fácil integrar e ver que o resultado final é zero.
Passo 2
Vamos começar com a primeira parte do exercício:
Primeiro, usamos a fórmula que transforma o produto de seno e cosseno:
Aqui,
e
. Aplicando a fórmula:
Como
, temos:
Passo 3
Agora, vamos integrar a expressão que obtivemos:
A integral de
é
. Aplicando isso:
Onde
é a constante de integração. Porém, se considerarmos uma integral definida em um intervalo completo de período, como de
a
, os termos de cosseno se cancelam, já que
é uma função periódica e as integrais sobre um ciclo completo são zero.
Portanto,
Passo 4
Vamos passar para a segunda parte:
Aqui, usamos a fórmula para o produto de dois cossenos:
Com
e
:
Sabendo que
:
Passo 5
Agora, integramos a expressão:
A integral de
é
. Assim:
Mais uma vez, ao considerar uma integral definida em um intervalo completo de período, como de
a
, as funções seno se cancelam, resultando em zero.
Logo,
Passo 6
Finalmente, a terceira parte:
Usamos a fórmula para o produto de seno e cosseno:
Com
e
:
Passo 7
Integramos agora:
A integral de
é
. Portanto:
Novamente, em uma integral definida sobre um ciclo completo, como de
a
, os termos de cosseno se anulam.
Assim,
Resposta
Todas as integrais apresentadas são iguais a zero:
(a)
(b)
©