Calcule a integral de linha integralC F cdot d x onde a curva C é dada pela parametrização x(t).
F(x, y, z)=(z, y,-x), x(t)=(t, sin t, cos t) e 0 <= t <= pi.

Passo 1

Vamos calcular a integral de linha , onde a curva é parametrizada por para . O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de integrais de linha no campo vetorial . Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva, calcular a derivada da parametrização, e depois aplicar a definição da integral de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parametrização da curva x(t) = t, y(t) = sin t, z(t) = cos t , que é dada por . Isso significa que as coordenadas , e são funções de :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da parametrização dxdt = ( dxdt, dydt, dzdt ) = ( 1, cos t, -sin t ) em relação a , que é :

Passo 4

Em seguida, avaliamos o campo vetorial F(x(t)) = ( cos t, sin t, -t ) ao longo da curva , substituindo , e :

Passo 5

A integral de linha é dada pelo produto escalar de integral0^pi F(x(t)) cdot dxdt , dt = integral0^pi (cos t cdot 1 + sin t cdot cos t + (-t) cdot (-sin t)) , dt com , integrado em relação a de 0 a :

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
cos t + sin t cos t + t sin t
Então, a integral fica:
integral0^pi ( cos t + sin t cos t + t sin t ) dt

Passo 7

Agora, calculamos cada parte da integral separadamente:
  1. – aqui usamos integração por partes.

Passo 8

Aplicando integração por partes na terceira integral:
u = t Rightarrow du = dt
dv = sin t , dt Rightarrow v = -cos t
Então,
integral t sin t , dt = -t cos t + integral cos t , dt = -t cos t + sin t
Avaliado de 0 a [-pi cos pi + sin pi] - [ -0 cos 0 + sin 0 ] = [-pi (-1) + 0] - [0 + 0] = pi :

Resposta

A integral de linha vale .

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