Calcule a integral de linha onde a curva é dada pela parametrização . e .
Passo 1
Vamos calcular a integral de linha , onde a curva é parametrizada por para . O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de integrais de linha no campo vetorial . Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva, calcular a derivada da parametrização, e depois aplicar a definição da integral de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parametrização da curva , que é dada por . Isso significa que as coordenadas , e são funções de :
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da parametrização em relação a , que é :
Passo 4
Em seguida, avaliamos o campo vetorial ao longo da curva , substituindo , e :
Passo 5
A integral de linha é dada pelo produto escalar de com , integrado em relação a de 0 a :
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, calculamos cada parte da integral separadamente:
– aqui usamos integração por partes.
Passo 8
Aplicando integração por partes na terceira integral:
u = t Rightarrow du = dt
dv = sin t , dt Rightarrow v = -cos t
Então,
integral t sin t , dt = -t cos t + integral cos t , dt = -t cos t + sin t
Avaliado de 0 a [-pi cos pi + sin pi] - [ -0 cos 0 + sin 0 ] = [-pi (-1) + 0] - [0 + 0] = pi :