Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular
. A matéria envolvida aqui é o cálculo integral, especificamente a técnica de frações parciais. Vamos precisar fatorar o denominador
para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Podemos tirar um
em evidência:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, para integrar uma fração onde o denominador é fatorado, usamos frações parciais. Vamos escrever:
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos equivalentes dos dois lados da equação:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Termo constante:
Passo 6
Resolvendo o sistema de equações:
- De
, já sabemos que . - De
, substituindo , temos , então . - Já que
, não precisamos mais resolver nada para .
Passo 7
Agora, substituímos os valores encontrados de
,
e
na decomposição das frações parciais:
Então, a integral original se torna:
Passo 8
Vamos integrar cada termo separadamente:
Para o segundo integral, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
, ou seja,
. Assim:
Passo 9
Agora, juntando os resultados das integrais:
onde
é a constante de integração.