integral d xx^3+x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular . A matéria envolvida aqui é o cálculo integral, especificamente a técnica de frações parciais. Vamos precisar fatorar o denominador para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^3 + x = x(x^2 + 1) . Podemos tirar um integral dxx(x^2 + 1) em evidência:
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, para integrar uma fração onde o denominador é fatorado, usamos frações parciais. Vamos escrever:
1x(x^2 + 1) = Ax + Bx + Cx^2 + 1
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por 1 = A(x^2 + 1) + (Bx + C)x para eliminar os denominadores:
1 = A x^2 + A + B x^2 + C x
Simplificando:
1 = (A + B) x^2 + C x + A
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos equivalentes dos dois lados da equação:
  • Coeficiente de :
  • Coeficiente de :
  • Termo constante:

Passo 6

Resolvendo o sistema de equações:
  • De , já sabemos que .
  • De , substituindo , temos , então .
  • Já que , não precisamos mais resolver nada para .

Passo 7

Agora, substituímos os valores encontrados de 1x(x^2 + 1) = 1x + -xx^2 + 1 , integral ( 1x - xx^2 + 1 ) dx e na decomposição das frações parciais:
Então, a integral original se torna:

Passo 8

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. integral xx^2 + 1 dx = 12 integral duu = 12 ln|u| = 12 ln(x^2 + 1)
Para o segundo integral, fazemos uma substituição simples. Seja , então , ou seja, . Assim:

Passo 9

Agora, juntando os resultados das integrais:
integral dxx^3+x = ln|x| - 12 ln(x^2 + 1) + C
onde é a constante de integração.

Resposta

integral dxx^3+x = ln|x| - 12 ln(x^2 + 1) + C

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