Passo 1
Vamos resolver a integral definida . Esse exercício envolve o cálculo de integrais, especificamente utilizando a técnica de integração por partes e propriedades das funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar aplicar essas ferramentas passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão trigonométrica presente na integral. Sabemos que:
Então, substituindo na integral, temos:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a técnica de integração por partes, que é útil quando a integral é o produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
Vamos identificar as partes:
- Escolha de
e : -
(as funções que simplificam ao derivar) - (as funções que são fáceis de integrar)
-
Passo 4
Calculando
e
:
-
(a derivada de é 1) - (integrando
)
Passo 5
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Passo 7
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de 0 a
:
Calculando para
:
E para
:
Resposta
O valor da integral é
.