integral0^pi / 2 x sen x cos x d x

Passo 1

Vamos resolver a integral definida . Esse exercício envolve o cálculo de integrais, especificamente utilizando a técnica de integração por partes e propriedades das funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar aplicar essas ferramentas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão trigonométrica presente na integral. Sabemos que:
Então, substituindo na integral, temos:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a técnica de integração por partes, que é útil quando a integral é o produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = u v - integral v , du
Vamos identificar as partes:
  • Escolha de e :
    •   (as funções que simplificam ao derivar)
    •  (as funções que são fáceis de integrar)

Passo 4

Calculando e :
  •   (a derivada de é 1)
  •  (integrando )

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
12 [ u v - integral v , du ] = 12 [ x cdot (-12 cos 2x) - integral (-12 cos 2x) dx ]

Passo 6

Simplificando a expressão:
= 12 [ -x2 cos 2x + 12 integral cos 2x , dx ]

Passo 7

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de 0 a [ -x4 cos 2x + 14 sen 2x ]0^pi / 2 :
Calculando para - pi24 cos pi + 14 sen pi = -pi8 cdot (-1) + 14 cdot 0 = pi8 :
E para - 04 cos 0 + 14 sen 0 = 0 + 0 = 0 :

Resposta

O valor da integral é dfracpi4.

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