Determine a area das superfícies .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área das superfícies definidas por para . Isso envolve conceitos de cálculo de áreas de superfícies usando coordenadas cilíndricas e integrais. Vamos precisar entender como parametrizar a superfície e calcular a área usando esses métodos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da superfície em coordenadas cilíndricas para facilitar. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
Substituindo na equação original:
Então, a equação da superfície fica .

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração. Sabemos que e, como , isso implica que . Além disso, para cobrir toda a circunferência, varia de a .

Passo 4

Para calcular a área da superfície, usamos a fórmula da área em coordenadas cilíndricas:
Á
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 5

Vamos calcular essas derivadas:
Substituindo na fórmula da área:
Á

Passo 6

Agora, resolvemos a integral interna em :

Passo 7

Por fim, calculamos a integral externa em :

Resposta

A área das superfícies é unidades de área.

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