Determine a area das superfícies
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área das superfícies definidas por
para
. Isso envolve conceitos de cálculo de áreas de superfícies usando coordenadas cilíndricas e integrais. Vamos precisar entender como parametrizar a superfície e calcular a área usando esses métodos.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da superfície em coordenadas cilíndricas para facilitar. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
Substituindo na equação original:
Então, a equação da superfície fica
.
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração. Sabemos que
e, como
, isso implica que
. Além disso, para cobrir toda a circunferência,
varia de
a
.
Passo 4
Para calcular a área da superfície, usamos a fórmula da área em coordenadas cilíndricas:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 5
Vamos calcular essas derivadas:
Substituindo na fórmula da área:
Passo 6
Agora, resolvemos a integral interna em
:
Passo 7
Por fim, calculamos a integral externa em
:
Resposta
A área das superfícies é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Prove que
.
Determine se a sequência
definida por
é crescente, decrescente ou não monotônica.
Calcule as integrais de superfície
onde
é o círculo paralelo ao plano
, de centro
e raio 2.
Mostre que