Prove que |a-b| < epsilon => |a| < |b| + epsilon.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para provar que se , então . Estamos trabalhando com inequações absolutas, que envolvem o valor absoluto de expressões. Para resolver isso, vamos usar algumas propriedades básicas dos valores absolutos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que a distância entre os números a e b é menor que epsilon. Em termos mais simples, a está bem próximo de b, dentro de uma “margem” de epsilon.

Passo 3

Sabemos que uma propriedade importante dos valores absolutos é a desigualdade triangular, que diz que para quaisquer números reais x e y, temos:
Vamos usar essa propriedade para ajudar na nossa prova.

Passo 4

Vamos manipular a expressão |a| para relacioná-la com e . Observe que:
Agora, aplicando o valor absoluto dos dois lados:

Passo 5

Usando a desigualdade triangular que mencionamos, temos:
Isso quer dizer que o valor absoluto de a é no máximo a soma do valor absoluto de com o valor absoluto de b.

Passo 6

Sabemos pelo enunciado que . Substituindo isso na inequação que acabamos de obter:
Portanto, concluímos que:

Resposta

Assim, provamos que se , então .

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