Prove que
.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para provar que se
, então
. Estamos trabalhando com inequações absolutas, que envolvem o valor absoluto de expressões. Para resolver isso, vamos usar algumas propriedades básicas dos valores absolutos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que a distância entre os números
e
é menor que
. Em termos mais simples,
está bem próximo de
, dentro de uma “margem” de
.
Passo 3
Sabemos que uma propriedade importante dos valores absolutos é a desigualdade triangular, que diz que para quaisquer números reais
e
, temos:
Vamos usar essa propriedade para ajudar na nossa prova.
Passo 4
Vamos manipular a expressão
para relacioná-la com
e
. Observe que:
Agora, aplicando o valor absoluto dos dois lados:
Passo 5
Usando a desigualdade triangular que mencionamos, temos:
Isso quer dizer que o valor absoluto de
é no máximo a soma do valor absoluto de
com o valor absoluto de
.
Passo 6
Sabemos pelo enunciado que
. Substituindo isso na inequação que acabamos de obter:
Portanto, concluímos que:
Resposta
Assim, provamos que se
, então
.
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Determine se a sequência
definida por
é crescente, decrescente ou não monotônica.
Determine uma parametrização das seguintes superfícies: Do parabolóide
.
Determine a area das superfícies
.
Calcule as integrais de superfície
onde
é o círculo paralelo ao plano
, de centro
e raio 2.