Calcule as integrais de superfície
, dados
e
.
(b)
e
;
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer calcular a integral de superfície
, onde
e a superfície
é parametrizada por com
e
. A gente vai usar conceitos de cálculo vetorial, como produto vetorial e integrais de superfície, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa integral de superfície. Basicamente, estamos somando os valores de
“através” da superfície
. Para fazer isso, precisamos parametrizar a superfície e calcular o vetor normal que nos ajuda a “medir” essa passagem.
Passo 3
Vamos começar encontrando as derivadas parciais da parametrização
em relação a
e
. Essas derivadas nos dão os vetores tangentes à superfície nas direções de
e
.
Passo 4
Agora, calculamos o produto vetorial desses vetores tangentes
, que nos dá um vetor normal à superfície
.
Calculando o determinante:
Sabemos que , então:
Passo 5
Agora, substituímos a parametrização
na função
:
Passo 6
A integral de superfície
pode ser expressa como uma integral dupla sobre os parâmetros
e
:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 7
Calculamos o produto escalar dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 8
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Fazemos a substituição
, então , o que nos dá:
Porque os limites de integração são iguais, a integral é zero.
Passo 9
Como a integral interna resultou em zero, toda a integral dupla também será zero:
Resposta
A integral de superfície
é igual a 0.
Exercícios relacionados
Encontre a área da superfície
.
(d) é a calota da esfera
determinada pelo cone
;
(d)
Encontre a área da superfície
.
(a) é o cone de altura
e raio da base
;
(a)
Classifique a superfície quádrica dada pela equação:
Qual é o tipo de superfície? Esboce seu gráfico.
Calcule as integrais de superfície
, dados
e
.
(a) e
;
(a)