Calcule as integrais de superfície integralS F cdot d S=integralS F cdot N d sigma, dados F e S=g(D).
(b) F(x, y, z)=(x^2, 0,0) e g(u, v)=(u cos v, u sen v, v), 0 <= u <= 1,0 <= v <= 2 pi;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular a integral de superfície , onde e a superfície é parametrizada por com e . A gente vai usar conceitos de cálculo vetorial, como produto vetorial e integrais de superfície, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa integral de superfície. Basicamente, estamos somando os valores de “através” da superfície . Para fazer isso, precisamos parametrizar a superfície e calcular o vetor normal que nos ajuda a “medir” essa passagem.

Passo 3

Vamos começar encontrando as derivadas parciais da parametrização gu = partial gpartial u = (cos v, sen v, 0) em relação a gv = partial gpartial v = (-u sen v, u cos v, 1) e . Essas derivadas nos dão os vetores tangentes à superfície nas direções de e .

Passo 4

Agora, calculamos o produto vetorial desses vetores tangentes gu times gv = i & j & k cos v & sen v & 0 - u sen v & u cos v & 1 , que nos dá um vetor normal à superfície gu times gv = (sen v cdot 1 - 0 cdot u cos v)i - (cos v cdot 1 - 0 cdot (-u sen v))j + (cos v cdot u cos v - sen v cdot (-u sen v))k .
Calculando o determinante:
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, substituímos a parametrização F(g(u, v)) = F(u cos v, u sen v, v) = ((u cos v)^2, 0, 0) na função = (u^2 cos^2 v, 0, 0) :

Passo 6

A integral de superfície integralS F cdot d S = integral0^1 integral0^2pi F(g(u, v)) cdot (gu times gv) , dv , du pode ser expressa como uma integral dupla sobre os parâmetros integral0^1 integral0^2pi (u^2 cos^2 v, 0, 0) cdot (sen v, -cos v, u) , dv , du e :
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 7

Calculamos o produto escalar dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 8

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^2pi cos^2 v sen v , dv :
Fazemos a substituição - integralt=cos 0^t=cos 2pi t^2 , dt = - integral1^1 t^2 , dt = 0 , então , o que nos dá:
Porque os limites de integração são iguais, a integral é zero.

Passo 9

Como a integral interna resultou em zero, toda a integral dupla também será zero:
integral0^1 u^2 cdot 0 , du = 0

Resposta

A integral de superfície é igual a 0.

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