Calcule as integrais de superfície , dados e .
(b) e ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular a integral de superfície , onde e a superfície é parametrizada por com e . A gente vai usar conceitos de cálculo vetorial, como produto vetorial e integrais de superfície, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa integral de superfície. Basicamente, estamos somando os valores de “através” da superfície . Para fazer isso, precisamos parametrizar a superfície e calcular o vetor normal que nos ajuda a “medir” essa passagem.

Passo 3

Vamos começar encontrando as derivadas parciais da parametrização em relação a e . Essas derivadas nos dão os vetores tangentes à superfície nas direções de e .

Passo 4

Agora, calculamos o produto vetorial desses vetores tangentes , que nos dá um vetor normal à superfície .
Calculando o determinante:
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, substituímos a parametrização na função :

Passo 6

A integral de superfície pode ser expressa como uma integral dupla sobre os parâmetros e :
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 7

Calculamos o produto escalar dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 8

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Fazemos a substituição , então , o que nos dá:
Porque os limites de integração são iguais, a integral é zero.

Passo 9

Como a integral interna resultou em zero, toda a integral dupla também será zero:

Resposta

A integral de superfície é igual a 0.

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Encontre a área da superfície .
(d) é a calota da esfera determinada pelo cone ;
Encontre a área da superfície .
(a) é o cone de altura e raio da base ;
Classifique a superfície quádrica dada pela equação:
Qual é o tipo de superfície? Esboce seu gráfico.
Calcule as integrais de superfície , dados e .
(a) e ;