Encontre a área da superfície .
(d) é a calota da esfera determinada pelo cone ;
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrar a área da superfície , que é a calota esférica da esfera determinada pelo cone . Isso envolve conceitos de geometria espacial, especificamente de superfícies em coordenadas esféricas. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar áreas de superfícies esféricas e a interseção entre uma esfera e um cone.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma calota esférica. Imagine uma bola de praia: se você cortar a bola com um plano, a parte superior que fica é a calota esférica. No nosso caso, ao invés de um plano, estamos usando um cone para cortar a esfera. Então, nossa calota esférica é a parte da esfera que está dentro do cone .
Passo 3
Para encontrar a área dessa calota, vamos usar coordenadas esféricas, que são ótimas para lidar com esferas e cones. Nas coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é descrito por , onde:
é a distância do ponto até a origem,
é o ângulo no plano a partir do eixo ,
é o ângulo a partir do eixo .
Como nossa esfera tem raio 1, .
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os limites para o ângulo que determina a interseção entre a esfera e o cone. Vamos reescrever a equação do cone em coordenadas esféricas.
A equação do cone é . Em coordenadas esféricas:
,
,
.
Substituindo na equação do cone:
Simplificando:
Como e :
Passo 5
Resolvendo a equação :
Sabemos que , então substituindo:
Portanto, e .
Passo 6
Agora que temos o ângulo , podemos configurar a integral para a área da calota esférica. A área em coordenadas esféricas é dada por: