Encontre a área da superfície S.
(d) S é a calota da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 1 determinada pelo cone x^2 + y^2 - 2 * z^2 = 0;

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrar a área da superfície S, que é a calota esférica da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 1 determinada pelo cone x^2 + y^2 - 2 * z^2 = 0. Isso envolve conceitos de geometria espacial, especificamente de superfícies em coordenadas esféricas. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar áreas de superfícies esféricas e a interseção entre uma esfera e um cone.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma calota esférica. Imagine uma bola de praia: se você cortar a bola com um plano, a parte superior que fica é a calota esférica. No nosso caso, ao invés de um plano, estamos usando um cone para cortar a esfera. Então, nossa calota esférica é a parte da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 1 que está dentro do cone x^2 + y^2 - 2 * z^2 = 0.

Passo 3

Para encontrar a área dessa calota, vamos usar coordenadas esféricas, que são ótimas para lidar com esferas e cones. Nas coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é descrito por , onde:
  • rho é a distância do ponto até a origem,
  • theta é o ângulo no plano xy a partir do eixo x,
  • phi é o ângulo a partir do eixo z.
Como nossa esfera tem raio 1, .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os limites para o ângulo phi que determina a interseção entre a esfera e o cone. Vamos reescrever a equação do cone em coordenadas esféricas.
A equação do cone é . Em coordenadas esféricas:
  • ,
  • ,
  • .
Substituindo na equação do cone:
Simplificando:
Como e :

Passo 5

Resolvendo a equação :
Sabemos que , então substituindo:
Portanto, e .

Passo 6

Agora que temos o ângulo phi, podemos configurar a integral para a área da calota esférica. A área em coordenadas esféricas é dada por:
Onde e . Então:

Passo 7

Vamos calcular a integral interna primeiro:

Passo 8

Agora, calculamos a integral externa:

Resposta

A área da calota esférica S é unidades de área.

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