Calcule as integrais de superfície , dados e .
(a) e ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! O enunciado pede pra calcular a integral onde o campo vetorial e a superfície são definidos por e , com variando de a e de a .
Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a parametrização de superfícies, derivadas parciais, produto vetorial para encontrar o vetor normal, e então configurar e calcular a integral dupla.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a superfície usando a função . Isso significa que cada ponto na superfície pode ser descrito por:
onde está entre e , e entre e .
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Essas derivadas nos ajudam a entender como a superfície muda conforme e variam.
Passo 4
Para encontrar o vetor normal à superfície, fazemos o produto vetorial das derivadas parciais e :
Calculando o determinante:
Simplificando:
Passo 5
Vamos avaliar o campo vetorial na parametrização :
Passo 6
Agora, calculamos o produto escalar de com o vetor normal :
Vamos simplificar cada termo:
Então:
Expandindo os quadrados:
Substituindo de volta:
Passo 7
Agora, configuramos a integral dupla sobre os limites de e :