Calcule as integrais de superfície , dados e .
(a) e ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! O enunciado pede pra calcular a integral onde o campo vetorial e a superfície são definidos por e , com variando de a e de a .
Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a parametrização de superfícies, derivadas parciais, produto vetorial para encontrar o vetor normal, e então configurar e calcular a integral dupla.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a superfície usando a função . Isso significa que cada ponto na superfície pode ser descrito por:
onde está entre e , e entre e .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Essas derivadas nos ajudam a entender como a superfície muda conforme e variam.

Passo 4

Para encontrar o vetor normal à superfície, fazemos o produto vetorial das derivadas parciais e :
Calculando o determinante:
Simplificando:

Passo 5

Vamos avaliar o campo vetorial na parametrização :

Passo 6

Agora, calculamos o produto escalar de com o vetor normal :
Vamos simplificar cada termo:
Então:
Expandindo os quadrados:
Substituindo de volta:

Passo 7

Agora, configuramos a integral dupla sobre os limites de e :

Passo 8

Vamos primeiro integrar em relação a :
Agora, integramos em relação a :

Resposta

A integral de superfície é igual a .

Exercícios relacionados

Classifique a superfície quádrica dada pela equação:
Qual é o tipo de superfície? Esboce seu gráfico.
Calcule as integrais de superfície , dados e .
(b) e ;
Calcule as integrais de superfície , dados e .
© e .
Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias: