Calcule as integrais de superfície , dados e .
(a) e ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! O enunciado pede pra calcular a integral onde o campo vetorial e a superfície são definidos por e , com variando de a e de a .
Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a parametrização de superfícies, derivadas parciais, produto vetorial para encontrar o vetor normal, e então configurar e calcular a integral dupla.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a superfície usando a função . Isso significa que cada ponto na superfície pode ser descrito por:
onde está entre e , e entre e .
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Essas derivadas nos ajudam a entender como a superfície muda conforme e variam.
Passo 4
Para encontrar o vetor normal à superfície, fazemos o produto vetorial das derivadas parciais e :
Calculando o determinante:
N = (1 cdot u - v cdot 1)i - (1 cdot u - v cdot (-1))j + (1 cdot 1 - 1 cdot (-1))k
Simplificando:
N = (u - v)i - (u + v)j + 2k
Passo 5
Vamos avaliar o campo vetorial F na parametrização g(u, v):
F(g(u, v)) = F(u - v, , u + v, , u v) = (u - v, , u + v, , u v)
Passo 6
Agora, calculamos o produto escalar de F(g(u, v)) com o vetor normal N:
F cdot N = (u - v)(u - v) + (u + v)(-u - v) + (u v)(2)
Vamos simplificar cada termo:
(u - v)(u - v) = (u - v)^2
(u + v)(-u - v) = -(u + v)^2
(u v)(2) = 2 u v
Então:
F cdot N = (u - v)^2 - (u + v)^2 + 2 u v
Expandindo os quadrados:
(u - v)^2 = u^2 - 2 u v + v^2
(u + v)^2 = u^2 + 2 u v + v^2
Substituindo de volta:
F cdot N = (u^2 - 2 u v + v^2) - (u^2 + 2 u v + v^2) + 2 u v = -4 u v + 2 u v = -2 u v
Passo 7
Agora, configuramos a integral dupla sobre os limites de u e v:
integral0^1 integral0^2 (-2 u v) , dv , du
Passo 8
Vamos primeiro integrar em relação a v:
integral0^2 (-2 u v) , dv = -2 u [ v^22 ]0^2 = -2 u ( 42 - 0 ) = -2 u cdot 2 = -4 u