Calcule as integrais de superfície integralS F cdot d S=integralS F cdot N d sigma, dados F e S=g(D).
(a) F(x, y, z)=(x, y, z) e g(u, v)=(u-v, u+v, u v), 0 <= u <= 1,0 <= v <= 2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! O enunciado pede pra calcular a integral integralS F cdot d S onde o campo vetorial F e a superfície S são definidos por F(x, y, z) = (x, y, z) e g(u, v) = (u - v, u + v, u v), com u variando de 0 a 1 e v de 0 a 2.
Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a parametrização de superfícies, derivadas parciais, produto vetorial para encontrar o vetor normal, e então configurar e calcular a integral dupla.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a superfície S usando a função g(u, v). Isso significa que cada ponto na superfície pode ser descrito por:
g(u, v) = (u - v, , u + v, , u v)
onde u está entre 0 e 1, e v entre 0 e 2.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de g em relação a u e v:
gu = partial gpartial u = (1, , 1, , v)
gv = partial gpartial v = (-1, , 1, , u)
Essas derivadas nos ajudam a entender como a superfície muda conforme u e v variam.

Passo 4

Para encontrar o vetor normal à superfície, fazemos o produto vetorial das derivadas parciais gu e gv:
N = gu times gv = i & j & k 1 & 1 & v -1 & 1 & u
Calculando o determinante:
N = (1 cdot u - v cdot 1)i - (1 cdot u - v cdot (-1))j + (1 cdot 1 - 1 cdot (-1))k
Simplificando:
N = (u - v)i - (u + v)j + 2k

Passo 5

Vamos avaliar o campo vetorial F na parametrização g(u, v):
F(g(u, v)) = F(u - v, , u + v, , u v) = (u - v, , u + v, , u v)

Passo 6

Agora, calculamos o produto escalar de F(g(u, v)) com o vetor normal N:
F cdot N = (u - v)(u - v) + (u + v)(-u - v) + (u v)(2)
Vamos simplificar cada termo:
  1. (u - v)(u - v) = (u - v)^2
  2. (u + v)(-u - v) = -(u + v)^2
  3. (u v)(2) = 2 u v
Então:
F cdot N = (u - v)^2 - (u + v)^2 + 2 u v
Expandindo os quadrados:
(u - v)^2 = u^2 - 2 u v + v^2
(u + v)^2 = u^2 + 2 u v + v^2
Substituindo de volta:
F cdot N = (u^2 - 2 u v + v^2) - (u^2 + 2 u v + v^2) + 2 u v = -4 u v + 2 u v = -2 u v

Passo 7

Agora, configuramos a integral dupla sobre os limites de u e v:
integral0^1 integral0^2 (-2 u v) , dv , du

Passo 8

Vamos primeiro integrar em relação a v:
integral0^2 (-2 u v) , dv = -2 u [ v^22 ]0^2 = -2 u ( 42 - 0 ) = -2 u cdot 2 = -4 u
Agora, integramos em relação a u:
integral0^1 (-4 u) , du = -4 [ u^22 ]0^1 = -4 ( 12 - 0 ) = -4 cdot 12 = -2

Resposta

A integral de superfície é igual a -2.

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