Classifique a superfície quádrica dada pela equação:
Qual é o tipo de superfície? Esboce seu gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa classificar a superfície quadrática dada pela equação . Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, mais especificamente sobre as superfícies quadráticas. Para resolver, vamos identificar o tipo de superfície analisando os coeficientes das variáveis e depois desenhar um esboço do gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da equação . Aqui, temos e do lado direito da equação, e do lado esquerdo. Não há termos mistos (tipo ) nem termos lineares de ou .

Passo 3

Agora, vamos observar os coeficientes dos termos quadráticos. O coeficiente de é 1 e o de é 4. Ambos são positivos e diferentes entre si. Isso nos ajuda a determinar o tipo de superfície.

Passo 4

Sabemos que a equação geral de uma superfície parabólica aberta para cima ou para baixo é , onde e são coeficientes positivos. Como os coeficientes de e são ambos positivos, a superfície é um paraboloide elíptico.

Passo 5

Para esboçar o gráfico, vamos considerar alguns valores de e e ver como varia. Por exemplo:
  • Se , então , que é uma parábola no eixo .
  • Se , então , que é uma parábola no eixo .
Isso nos mostra que a superfície se abre para cima, com a parábola mais “esticada” na direção do devido ao coeficiente maior.

Resposta

A superfície dada pela equação é um paraboloide elíptico, e seu gráfico é um paraboloide aberto para cima, mais alongado na direção do eixo .

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© e .