Classifique a superfície quádrica dada pela equação:
Qual é o tipo de superfície? Esboce seu gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa classificar a superfície quadrática dada pela equação
. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, mais especificamente sobre as superfícies quadráticas. Para resolver, vamos identificar o tipo de superfície analisando os coeficientes das variáveis e depois desenhar um esboço do gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da equação
. Aqui, temos
e
do lado direito da equação, e
do lado esquerdo. Não há termos mistos (tipo
) nem termos lineares de
ou
.
Passo 3
Agora, vamos observar os coeficientes dos termos quadráticos. O coeficiente de
é 1 e o de
é 4. Ambos são positivos e diferentes entre si. Isso nos ajuda a determinar o tipo de superfície.
Passo 4
Sabemos que a equação geral de uma superfície parabólica aberta para cima ou para baixo é
, onde
e
são coeficientes positivos. Como os coeficientes de
e
são ambos positivos, a superfície é um paraboloide elíptico.
Passo 5
Para esboçar o gráfico, vamos considerar alguns valores de
e
e ver como
varia. Por exemplo:
- Se
, então , que é uma parábola no eixo . - Se
, então , que é uma parábola no eixo .
Isso nos mostra que a superfície se abre para cima, com a parábola mais “esticada” na direção do
devido ao coeficiente maior.
Resposta
A superfície dada pela equação
é um paraboloide elíptico, e seu gráfico é um paraboloide aberto para cima, mais alongado na direção do eixo
.
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, dados
e
.
(b) e
;
(b)
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.
(d) é a calota da esfera
determinada pelo cone
;
(d)
Calcule as integrais de superfície
, dados
e
.
(a) e
;
(a)
Calcule as integrais de superfície
, dados
e
.
© e
.
©