Calcule as integrais de superfície
, dados
e
.
©
e
.
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! A questão pede para calcular a integral
, onde o campo vetorial
e a superfície
são dados. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de superfícies, vetores normais e integração em superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parametrização da superfície
. Ela é dada por , onde
varia de
a
e
de
a
. Isso representa um cilindro circular parametrizado pelo ângulo
e pela altura
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os vetores tangentes à superfície, que são as derivadas parciais de
em relação a
e
. Vamos calcular:
Passo 4
Com esses vetores tangentes, encontramos o vetor normal à superfície usando o produto vetorial:
Passo 5
Agora, vamos calcular
. O campo vetorial
é dado por
, e na parametrização,
, , então:
Passo 6
Finalmente, a integral de superfície fica:
Integrando em relação a
primeiro:
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
A integral de superfície é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais de superfície
, dados
e
.
(a) e
;
(a)
Classifique a superfície quádrica dada pela equação:
Qual é o tipo de superfície? Esboce seu gráfico.
Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias:
Resolva os seguintes problemas de valor inicial (PVI):