Calcule as integrais de superfície integralS F cdot d S=integralS F cdot N d sigma, dados F e S=g(D).
© F(x, y, z)=(x, 0, y) e g(u, v)=(cos u, sen u, v), 0 <= u <= 2 pi, 0 <= v <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! A questão pede para calcular a integral integralS F cdot d S, onde o campo vetorial F e a superfície S são dados. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de superfícies, vetores normais e integração em superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização da superfície S. Ela é dada por , onde g(u, v) = (cos u, sen u, v) varia de u a 0 e 2pi de v a 0. Isso representa um cilindro circular parametrizado pelo ângulo 1 e pela altura u.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os vetores tangentes à superfície, que são as derivadas parciais de g em relação a u e v. Vamos calcular:
gu = partial gpartial u = (-sen u, cos u, 0)

Passo 4

Com esses vetores tangentes, encontramos o vetor normal à superfície usando o produto vetorial:

Passo 5

Agora, vamos calcular F cdot N. O campo vetorial F é dado por (x, 0, y), e na parametrização, x = cos u, , então:

Passo 6

Finalmente, a integral de superfície fica:
integralS F cdot d S = integral0^2pi integral0^1 cos^2 u , dv , du
Integrando em relação a v primeiro:
integral0^1 cos^2 u , dv = cos^2 u cdot 1 = cos^2 u
Agora, integramos em relação a u:
integral0^2pi cos^2 u , du = pi

Resposta

A integral de superfície é igual a pi.

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