Calcule as integrais de superfície , dados e .
© e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! A questão pede para calcular a integral , onde o campo vetorial e a superfície são dados. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de superfícies, vetores normais e integração em superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização da superfície . Ela é dada por , onde varia de a e de a . Isso representa um cilindro circular parametrizado pelo ângulo e pela altura .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os vetores tangentes à superfície, que são as derivadas parciais de em relação a e . Vamos calcular:

Passo 4

Com esses vetores tangentes, encontramos o vetor normal à superfície usando o produto vetorial:

Passo 5

Agora, vamos calcular . O campo vetorial é dado por , e na parametrização, , , então:

Passo 6

Finalmente, a integral de superfície fica:
Integrando em relação a primeiro:
Agora, integramos em relação a :

Resposta

A integral de superfície é igual a .

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(a) e ;
Classifique a superfície quádrica dada pela equação:
Qual é o tipo de superfície? Esboce seu gráfico.
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Resolva os seguintes problemas de valor inicial (PVI):