Resolva os seguintes problemas de valor inicial (PVI):
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema que é um Problema de Valor Inicial (PVI) envolvendo uma Equação Diferencial Linear de 1ª ordem. A gente vai precisar usar o método do fator integrante para achar a solução dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação que temos:
Aqui, é a derivada de em relação a , é o coeficiente de , e é a função do lado direito. Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação e a condição inicial .
Passo 3
Vamos usar o método do fator integrante. Para isso, precisamos achar uma função que vai multiplicar toda a equação e facilitar a integração. A fórmula para o fator integrante é:
Onde é o coeficiente de , que nesse caso é . Então, vamos calcular:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto . Então podemos escrever:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :
Integrando:
Passo 6
Para resolver a integral , usamos a identidade trigonométrica:
Então:
Substituindo de volta na equação:
Simplificando:
Agora, isolamos :
Passo 7
Aplicamos a condição inicial :
Simplificando:
Como :
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é: