Resolva os seguintes problemas de valor inicial (PVI): y^prime+cotg t y & =4 sen t y(-pi2) & =0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema que é um Problema de Valor Inicial (PVI) envolvendo uma Equação Diferencial Linear de 1ª ordem. A gente vai precisar usar o método do fator integrante para achar a solução dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação que temos:
y' + cot t cdot y = 4 sin t
Aqui, é a derivada de em relação a , é o coeficiente de , e é a função do lado direito. Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação e a condição inicial .

Passo 3

Vamos usar o método do fator integrante. Para isso, precisamos achar uma função mu(t) = e^integral P(t) , dt que vai multiplicar toda a equação e facilitar a integração. A fórmula para o fator integrante é:
mu(t) = e^integral cot t , dt = e^ln|sin t| = sin t
Onde é o coeficiente de , que nesse caso é . Então, vamos calcular:

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante sin t cdot y' + sin t cdot cot t cdot y = 4 sin t cdot sin t :
sin t cdot y' + cos t cdot y = 4 sin^2 t
Simplificando:

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto ddt (sin t cdot y) = 4 sin^2 t . Então podemos escrever:
integral ddt (sin t cdot y) , dt = integral 4 sin^2 t , dt
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a sin t cdot y = 4 integral sin^2 t , dt + C :
Integrando:

Passo 6

Para resolver a integral sin^2 t = 1 - cos 2t2 , usamos a identidade trigonométrica:
integral sin^2 t , dt = integral 1 - cos 2t2 , dt = t2 - sin 2t4 + C
Então:
sin t cdot y = 4 ( t2 - sin 2t4 ) + C
Substituindo de volta na equação:
sin t cdot y = 2t - sin 2t + C
Simplificando:
y = 2t - sin 2t + Csin t
Agora, isolamos :

Passo 7

Aplicamos a condição inicial 0 = 2 ( -pi2 ) - sin ( 2 cdot -pi2 ) + Csin ( -pi2 ) :
0 = -pi - sin (-pi) + C -1
Simplificando:
0 = -pi + C -1 Rightarrow -pi + C = 0 Rightarrow C = pi
Como :

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
y(t) = 2t - sin 2t + pisin t

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