Resolva os seguintes problemas de valor inicial (PVI):

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema que é um Problema de Valor Inicial (PVI) envolvendo uma Equação Diferencial Linear de 1ª ordem. A gente vai precisar usar o método do fator integrante para achar a solução dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação que temos:
Aqui, é a derivada de em relação a , é o coeficiente de , e é a função do lado direito. Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação e a condição inicial .

Passo 3

Vamos usar o método do fator integrante. Para isso, precisamos achar uma função que vai multiplicar toda a equação e facilitar a integração. A fórmula para o fator integrante é:
Onde é o coeficiente de , que nesse caso é . Então, vamos calcular:

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto . Então podemos escrever:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :
Integrando:

Passo 6

Para resolver a integral , usamos a identidade trigonométrica:
Então:
Substituindo de volta na equação:
Simplificando:
Agora, isolamos :

Passo 7

Aplicamos a condição inicial :
Simplificando:
Como :

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:

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Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias:
Calcule as integrais de superfície , dados e .
© e .
Encontre a equação vetorial da curva paramétrica dada por:
Esboce a curva.
Resolva a EDO homogênea , fazendo a mudança de variáveis .