Resolva os seguintes problemas de valor inicial (PVI):
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema que é um Problema de Valor Inicial (PVI) envolvendo uma Equação Diferencial Linear de 1ª ordem. A gente vai precisar usar o método do fator integrante para achar a solução dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação que temos:
y' + cot t cdot y = 4 sin t
Aqui, é a derivada de em relação a , é o coeficiente de , e é a função do lado direito. Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação e a condição inicial .
Passo 3
Vamos usar o método do fator integrante. Para isso, precisamos achar uma função mu(t) = e^integral P(t) , dt que vai multiplicar toda a equação e facilitar a integração. A fórmula para o fator integrante é:
mu(t) = e^integral cot t , dt = e^ln|sin t| = sin t
Onde é o coeficiente de , que nesse caso é . Então, vamos calcular:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante sin t cdot y' + sin t cdot cot t cdot y = 4 sin t cdot sin t :
sin t cdot y' + cos t cdot y = 4 sin^2 t
Simplificando:
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto ddt (sin t cdot y) = 4 sin^2 t . Então podemos escrever:
integral ddt (sin t cdot y) , dt = integral 4 sin^2 t , dt
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a sin t cdot y = 4 integral sin^2 t , dt + C :
Integrando:
Passo 6
Para resolver a integral sin^2 t = 1 - cos 2t2 , usamos a identidade trigonométrica:
integral sin^2 t , dt = integral 1 - cos 2t2 , dt = t2 - sin 2t4 + C