Calcule, se possivel, pela definição e pelo teorema da divergência, o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = (x, -y, 0) sobre a fronteira do sólido descrito por B: x^2 + z^2 <= 1 e 0 <= y <= 3, na direção do vetor unitário normal exterior.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o fluxo do campo vetorial sobre a fronteira de um sólido definido por e . Vamos usar a definição de fluxo e o teorema da divergência para isso. Para resolver, vamos precisar entender o que é fluxo, campo vetorial, e como aplicar o teorema da divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o sólido . A condição descreve um cilindro circular de raio 1 ao longo do eixo , e limita esse cilindro entre e . Então, é um cilindro fechado nessas extremidades.

Passo 3

Agora, o fluxo de um campo vetorial através da fronteira do sólido é dado por:
onde é o vetor normal unitário externo à superfície.

Passo 4

Vamos aplicar o teorema da divergência, que nos facilita o cálculo do fluxo ao relacionar a integral de superfície com uma integral sobre o volume. O teorema diz:
Então, precisamos calcular a divergência de , que é:

Passo 5

Vamos calcular cada derivada:
Então,

Passo 6

Com a divergência sendo zero, a integral de volume fica:
De acordo com o teorema da divergência,

Resposta

O fluxo do campo vetorial sobre a fronteira do sólido é igual a zero.

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Encontre o termo geral da sequência de somas parciais de cada uma das séries abaixo. A seguir, determine se a série converge ou diverge, obtendo o valor de sua soma, se possível.
© sumn=1^infty 2 n+1n^2(n+1)^2
Calcule as integrais de superfícies de f(x, y, z).
a) f(x, y, z) = x sendo sigma(u, v) = (u, v, u^2 + v) com 0 <= u <= 1, u^2 <= v <= 1.
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c) f(x, y, z) = y sendo sigma(u, v) = (u, v, 1 - u^2) com 0 <= u <= 1, 0 <= v <= raiz(u).
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(h) sumn=1^infty 3 n+4n^3+3 n^2+2 n
O campo magnético gerado por uma carga na origem é dado por
F(x, y, z) = q * (x * i + y * j + z * k) / raiz((x^2 + y^2 + z^2)^3)
a) Mostre que o fluxo do campo F através de qualquer esfera centrada na origem, de raio r > 0, na direção do vetor unitário normal exterior é igual 4 q pi.
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