Calcule, se possivel, pela definição e pelo teorema da divergência, o fluxo do campo vetorial
sobre a fronteira do sólido descrito por
, na direção do vetor unitário normal exterior.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o fluxo do campo vetorial
sobre a fronteira de um sólido definido por
e
. Vamos usar a definição de fluxo e o teorema da divergência para isso. Para resolver, vamos precisar entender o que é fluxo, campo vetorial, e como aplicar o teorema da divergência.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o sólido
. A condição
descreve um cilindro circular de raio 1 ao longo do eixo
, e
limita esse cilindro entre
e
. Então,
é um cilindro fechado nessas extremidades.
Passo 3
Agora, o fluxo de um campo vetorial
através da fronteira
do sólido
é dado por:
onde
é o vetor normal unitário externo à superfície.
Passo 4
Vamos aplicar o teorema da divergência, que nos facilita o cálculo do fluxo ao relacionar a integral de superfície com uma integral sobre o volume. O teorema diz:
Então, precisamos calcular a divergência de
, que é:
Passo 5
Vamos calcular cada derivada:
Então,
Passo 6
Com a divergência sendo zero, a integral de volume fica:
De acordo com o teorema da divergência,
Resposta
O fluxo do campo vetorial
sobre a fronteira do sólido
é igual a zero.
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©
©
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.
a) sendo
com
.
b) sendo
.
c) sendo
.
d) sendo
descrita por
com
.
a)
b)
c)
d)
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(h)
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.
b) Mostre que a igualdade estabelecida no teorema da divergência não se verifique no cálculo do item a). Por quê?
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