Calcule as integrais, transformando para coordenadas esféricas. integral-2^2 integral-raiz4-x^2^raiz4-x^2 integral2-raiz4-x^2-y^2^2+raiz4-x^2-y^2(x^2+y^2+z^2)^32 d z d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício de cálculo que pede para calcular uma integral tripla, transformando para coordenadas esféricas. A integral é:
integral-2^2 integral-raiz4-x^2^raiz4-x^2 integral2-raiz4-x^2-y^2^2+raiz4-x^2-y^2(x^2+y^2+z^2)^32 , dz , dy , dx
O conteúdo envolvido aqui é o cálculo em coordenadas esféricas, que é super útil para resolver integrais que têm simetria esférica. Vamos precisar entender como transformar as coordenadas cartesianas (x, y, z) para esféricas (ρ, φ, θ) e usar o jacobiano dessa transformação para ajustar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Observando os limites de x, y e z, percebemos que a integral está sendo calculada sobre uma esfera de raio 2 centrada no ponto (0, 0, 2). Isso porque os limites para z dependem de x e y de forma a manter , que é a equação de uma esfera com raio 2 e centro em (0, 0, 2).

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas esféricas. As coordenadas esféricas são dadas por:
x = rho sinphi costheta y = rho sinphi sintheta z = rho cosphi
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é .

Passo 4

Substituindo a equação da esfera na forma esférica:
x^2 + y^2 + (z - 2)^2 = rho^2 sin^2phi cos^2theta + rho^2 sin^2phi sin^2theta + (rho cosphi - 2)^2 = 4
Simplificando:
rho^2 sin^2phi (cos^2theta + sin^2theta) + rho^2 cos^2phi - 4rho cosphi + 4 = 4
rho^2 (sin^2phi + cos^2phi) - 4rho cosphi = 0
rho^2 - 4rho cosphi = 0
rho (rho - 4 cosphi) = 0
Isso nos dá que ou . Como é uma distância positiva, consideramos .

Passo 5

Então, os limites para vão de 0 a . Para , como estamos acima do plano xy (z positivo), varia de 0 a . E varia de 0 a .

Passo 6

Agora, vamos reescrever a integral em coordenadas esféricas. O integrando integral0^2pi integral0^pi/2 integral0^4 cosphi rho^3 cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta se transforma em = integral0^2pi integral0^pi/2 integral0^4 cosphi rho^5 sinphi , drho , dphi , dtheta , já que .
Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos integrar em relação a integral0^4 cosphi rho^5 , drho = [ rho^66 ]0^4 cosphi = (4 cosphi)^66 = 4096 cos^6phi6 primeiro:

Passo 8

Substituindo de volta na integral, temos:
integral0^2pi integral0^pi/2 4096 cos^6phi6 sinphi , dphi , dtheta
= 40966 integral0^2pi ( integral0^pi/2 cos^6phi sinphi , dphi ) dtheta

Passo 9

Vamos resolver a integral interna em integral0^pi/2 cos^6phi sinphi , dphi = integral1^0 u^6 (-du) = integral0^1 u^6 , du = [ u^77 ]0^1 = 17 . Fazendo a substituição , então . Quando , ; quando , .

Passo 10

Voltando à integral:
40966 integral0^2pi 17 , dtheta = 40966 cdot 7 integral0^2pi dtheta = 409642 cdot 2pi = 4096 pi21

Resposta

A integral calculada é igual a .

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