Calcule as integrais, transformando para coordenadas esféricas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício de cálculo que pede para calcular uma integral tripla, transformando para coordenadas esféricas. A integral é:
O conteúdo envolvido aqui é o cálculo em coordenadas esféricas, que é super útil para resolver integrais que têm simetria esférica. Vamos precisar entender como transformar as coordenadas cartesianas (x, y, z) para esféricas (ρ, φ, θ) e usar o jacobiano dessa transformação para ajustar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Observando os limites de x, y e z, percebemos que a integral está sendo calculada sobre uma esfera de raio 2 centrada no ponto (0, 0, 2). Isso porque os limites para z dependem de x e y de forma a manter , que é a equação de uma esfera com raio 2 e centro em (0, 0, 2).
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas esféricas. As coordenadas esféricas são dadas por:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é .
Passo 4
Substituindo a equação da esfera na forma esférica:
Simplificando:
Isso nos dá que ou . Como é uma distância positiva, consideramos .
Passo 5
Então, os limites para vão de 0 a . Para , como estamos acima do plano xy (z positivo), varia de 0 a . E varia de 0 a .
Passo 6
Agora, vamos reescrever a integral em coordenadas esféricas. O integrando se transforma em , já que .
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos integrar em relação a primeiro:
Passo 8
Substituindo de volta na integral, temos:
Passo 9
Vamos resolver a integral interna em . Fazendo a substituição , então . Quando , ; quando , .