Calcule as integrais, transformando para coordenadas esféricas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício de cálculo que pede para calcular uma integral tripla, transformando para coordenadas esféricas. A integral é:
O conteúdo envolvido aqui é o cálculo em coordenadas esféricas, que é super útil para resolver integrais que têm simetria esférica. Vamos precisar entender como transformar as coordenadas cartesianas (x, y, z) para esféricas (ρ, φ, θ) e usar o jacobiano dessa transformação para ajustar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Observando os limites de x, y e z, percebemos que a integral está sendo calculada sobre uma esfera de raio 2 centrada no ponto (0, 0, 2). Isso porque os limites para z dependem de x e y de forma a manter , que é a equação de uma esfera com raio 2 e centro em (0, 0, 2).

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas esféricas. As coordenadas esféricas são dadas por:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é .

Passo 4

Substituindo a equação da esfera na forma esférica:
Simplificando:
Isso nos dá que ou . Como é uma distância positiva, consideramos .

Passo 5

Então, os limites para vão de 0 a . Para , como estamos acima do plano xy (z positivo), varia de 0 a . E varia de 0 a .

Passo 6

Agora, vamos reescrever a integral em coordenadas esféricas. O integrando se transforma em , já que .
Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos integrar em relação a primeiro:

Passo 8

Substituindo de volta na integral, temos:

Passo 9

Vamos resolver a integral interna em . Fazendo a substituição , então . Quando , ; quando , .

Passo 10

Voltando à integral:

Resposta

A integral calculada é igual a .

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