Encontre os quatros primeiros termos da sequência das somas parciais , encontre a fórmula para . Determine se a série infinita é convergente ou divergente , se for convergente, encontre a soma.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita:
Precisamos encontrar os quatro primeiros termos das somas parciais dessa série, descobrir uma fórmula geral para , e determinar se a série converge ou diverge. Se convergir, também encontraremos a soma total.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os termos individuais da série para .
Para :
Para :
Para :
Para :

Passo 3

Agora, vamos somar esses termos para encontrar as somas parciais:

Passo 4

Para encontrar a f��rmula geral para , vamos decompor o termo geral em frações parciais. Temos:
Multiplicando ambos os lados por :
Escolhendo valores de que simplificam a equação:
Para :
Para :
Então, a decomposição fica:

Passo 5

Com essa decomposição, a série se torna:
Fatorando :
Essa é uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam quando somamos.

Passo 6

Vamos calcular usando a expressão telescópica:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos analisar a série infinita. Calculamos o limite de quando tende ao infinito:
Como o limite existe e é finito, a série converge.

Resposta

Os quatro primeiros termos das somas parciais são:
A fórmula geral para é:
A série infinita é convergente, e a soma total é:

Exercícios relacionados

Utilizando coordenadas esféricas, mostre que o volume da parte da esfera que está no primeiro octante é .
Calcule as integrais, transformando para coordenadas esféricas.
Escolha duas séries abaixo. Determine se a série é convergente ou divergente. Justifique sua resposta.
Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área.
f) ;