Encontre os quatros primeiros termos da sequência das somas parciais
, encontre a fórmula para
. Determine se a série infinita é convergente ou divergente
, se for convergente, encontre a soma.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita:
Precisamos encontrar os quatro primeiros termos das somas parciais dessa série, descobrir uma fórmula geral para
, e determinar se a série converge ou diverge. Se convergir, também encontraremos a soma total.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular os termos individuais da série para
.
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 3
Agora, vamos somar esses termos para encontrar as somas parciais:
Passo 4
Para encontrar a f��rmula geral para
, vamos decompor o termo geral em frações parciais. Temos:
Multiplicando ambos os lados por
:
Escolhendo valores de
que simplificam a equação:
Para
:
Para
:
Então, a decomposição fica:
Passo 5
Com essa decomposição, a série se torna:
Fatorando
:
Essa é uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam quando somamos.
Passo 6
Vamos calcular
usando a expressão telescópica:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos analisar a série infinita. Calculamos o limite de
quando
tende ao infinito:
Como o limite existe e é finito, a série converge.
Resposta
Os quatro primeiros termos das somas parciais são:
A fórmula geral para
é:
A série infinita é convergente, e a soma total é:
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Utilizando coordenadas esféricas, mostre que o volume da parte da esfera
que está no primeiro octante é
.
Calcule as integrais, transformando para coordenadas esféricas.
Escolha duas séries abaixo. Determine se a série é convergente ou divergente. Justifique sua resposta.
Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área.
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