Encontre os quatros primeiros termos da sequência das somas parciais (sn), encontre a fórmula para sn. Determine se a série infinita é convergente ou divergente e, se for convergente, encontre a soma.
sumn=1^infty 2(3 n-2)(3 n+1)

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita:
sumn=1^infty 2(3n -2)(3n +1)
Precisamos encontrar os quatro primeiros termos das somas parciais dessa série, descobrir uma fórmula geral para , e determinar se a série converge ou diverge. Se convergir, também encontraremos a soma total.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os termos individuais da série para 2(3 cdot 1 -2)(3 cdot 1 +1) = 21 cdot 4 = 12 .
Para 2(3 cdot 2 -2)(3 cdot 2 +1) = 24 cdot 7 = 114 :
2(3 cdot 3 -2)(3 cdot 3 +1) = 27 cdot 10 = 135
Para 2(3 cdot 4 -2)(3 cdot 4 +1) = 210 cdot 13 = 165 :
Para :
Para :

Passo 3

Agora, vamos somar esses termos para encontrar as somas parciais:
s1 &= 12 s2 &= 12 + 114 = 47 s3 &= 47 + 135 = 35 s4 &= 35 + 165 = 813

Passo 4

Para encontrar a f��rmula geral para 2(3n -2)(3n +1) = A3n -2 + B3n +1 , vamos decompor o termo geral em frações parciais. Temos:
2 = A(3n +1) + B(3n -2)
Multiplicando ambos os lados por 2 = 3A Rightarrow A = 23 :
2 = -3B Rightarrow B = -23
Escolhendo valores de 2(3n -2)(3n +1) = 2/33n -2 - 2/33n +1 que simplificam a equação:
Para :
Para :
Então, a decomposição fica:

Passo 5

Com essa decomposição, a série se torna:
sumn=1^infty ( 2/33n -2 - 2/33n +1 )
Fatorando 23 sumn=1^infty ( 13n -2 - 13n +1 ) :
Essa é uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam quando somamos.

Passo 6

Vamos calcular sn = 23 ( 11 - 13n +1 ) usando a expressão telescópica:
sn = 23 - 23(3n +1)
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos analisar a série infinita. Calculamos o limite de limn to infty sn = 23 - 23(3n +1) = 23 - 0 = 23 quando tende ao infinito:
Como o limite existe e é finito, a série converge.

Resposta

Os quatro primeiros termos das somas parciais são:
s1 = 12, s2 = 47, s3 = 35, s4 = 813
A fórmula geral para sn = 23 ( 1 - 13n +1 ) é:
23
A série infinita é convergente, e a soma total é:

Exercícios relacionados