Utilizando coordenadas esféricas: Determine o voume do sólido E que está acima do cone z = raiz(x^2 + y^2) / raiz(3) e abaixo da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 1.

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Queremos encontrar o volume do sólido que está acima do cone e abaixo da esfera . Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, que facilitam o cálculo de volumes com simetrias circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é representado por , onde:
  • é a distância do ponto até a origem.
  • é o ângulo no plano (como na coordenada polar).
  • é o ângulo entre o vetor posição e o eixo .
As relações entre as coordenadas cartesianas e esféricas são:

Passo 3

Vamos converter a equação do cone para coordenadas esféricas. A equação do cone é:
Substituindo pelas fórmulas esféricas:
Simplificando:
Então, o ângulo do cone é .

Passo 4

Agora, vamos converter a equação da esfera para coordenadas esféricas. A equação da esfera é:
Substituindo :
Simplificando:
Portanto, a esfera tem raio .

Passo 5

Vamos determinar os limites de integração para , e :
  • : Varia de 0 até 1 (raio da esfera).
  • : Varia de 0 até (ângulo do cone).
  • : Varia de 0 até (círculo completo no plano ).

Passo 6

O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
Então, o volume do sólido é:

Passo 7

Vamos calcular a integral em primeiro:

Passo 8

Agora, a integral em :

Passo 9

Por fim, a integral em :

Passo 10

Multiplicando os resultados das integrais:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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