Utilizando coordenadas esféricas: Determine o voume do sólido
que está acima do cone
e abaixo da esfera
.
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo. Queremos encontrar o volume do sólido
que está acima do cone
e abaixo da esfera
. Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, que facilitam o cálculo de volumes com simetrias circulares.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto
no espaço é representado por
, onde:
-
é a distância do ponto até a origem. -
é o ângulo no plano (como na coordenada polar). -
é o ângulo entre o vetor posição e o eixo .
As relações entre as coordenadas cartesianas e esféricas são:
Passo 3
Vamos converter a equação do cone para coordenadas esféricas. A equação do cone é:
Substituindo
pelas fórmulas esféricas:
Simplificando:
Então, o ângulo
do cone é
.
Passo 4
Agora, vamos converter a equação da esfera para coordenadas esféricas. A equação da esfera é:
Substituindo
:
Simplificando:
Portanto, a esfera tem raio
.
Passo 5
Vamos determinar os limites de integração para
,
e
:
-
: Varia de 0 até 1 (raio da esfera). -
: Varia de 0 até (ângulo do cone). -
: Varia de 0 até (círculo completo no plano ).
Passo 6
O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
Então, o volume
do sólido
é:
Passo 7
Vamos calcular a integral em
primeiro:
Passo 8
Agora, a integral em
:
Passo 9
Por fim, a integral em
:
Passo 10
Multiplicando os resultados das integrais:
Resposta
O volume do sólido
é
unidades cúbicas.