Utilizando coordenadas esféricas, mostre que o volume da parte da esfera que está no primeiro octante é .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria usando coordenadas esféricas. O problema nos pede para encontrar o volume da parte da esfera que está no primeiro octante. Para isso, vamos precisar entender o que são coordenadas esféricas e como calcular volumes usando essa ferramenta matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da esfera: . Essa é uma esfera de raio 1 centrada no ponto (1, 0, 0) no espaço tridimensional.

Passo 3

Coordenadas esféricas são um sistema de coordenadas que representam pontos no espaço usando três valores: o raio , o ângulo polar e o ângulo azimutal . A relação entre coordenadas cartesianas e esféricas é dada por:

Passo 4

Para calcular o volume usando coordenadas esféricas, usamos o elemento de volume:
Isso nos permite integrar sobre os limites apropriados para encontrar o volume desejado.

Passo 5

Como queremos a parte da esfera que está no primeiro octante, precisamos determinar os limites para e . No primeiro octante:
Além disso, como a esfera está centrada em (1, 0, 0) com raio 1, o raio varia de 0 a 2 nesse contexto específico, mas devido à posição da esfera, vamos ajustar os limites de integração.

Passo 6

Integrando o elemento de volume na região definida:
Aqui, é o limite superior para devido à posição deslocada da esfera.

Passo 7

Resolvendo a integral em relação a :

Passo 8

Agora, substituímos na integral dupla:

Passo 9

Resolvendo a integral em relação a :
Fazendo a substitui��ão , , a integral se torna:

Passo 10

Substituindo de volta:

Resposta

O volume da parte da esfera que está no primeiro octante é .

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