Utilizando coordenadas esféricas, mostre que o volume da parte da esfera que está no primeiro octante é .
Passo 1
Vamos resolver um exercício de geometria usando coordenadas esféricas. O problema nos pede para encontrar o volume da parte da esfera que está no primeiro octante. Para isso, vamos precisar entender o que são coordenadas esféricas e como calcular volumes usando essa ferramenta matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação da esfera: . Essa é uma esfera de raio 1 centrada no ponto (1, 0, 0) no espaço tridimensional.
Passo 3
Coordenadas esféricas são um sistema de coordenadas que representam pontos no espaço usando três valores: o raio , o ângulo polar e o ângulo azimutal . A relação entre coordenadas cartesianas e esféricas é dada por:
Passo 4
Para calcular o volume usando coordenadas esféricas, usamos o elemento de volume:
Isso nos permite integrar sobre os limites apropriados para encontrar o volume desejado.
Passo 5
Como queremos a parte da esfera que está no primeiro octante, precisamos determinar os limites para e . No primeiro octante:
Além disso, como a esfera está centrada em (1, 0, 0) com raio 1, o raio varia de 0 a 2 nesse contexto específico, mas devido à posição da esfera, vamos ajustar os limites de integração.
Passo 6
Integrando o elemento de volume na região definida:
Aqui, é o limite superior para devido à posição deslocada da esfera.
Passo 7
Resolvendo a integral em relação a :
Passo 8
Agora, substituímos na integral dupla:
Passo 9
Resolvendo a integral em relação a :
Fazendo a substitui��ão , , a integral se torna:
Passo 10
Substituindo de volta:
Resposta
O volume da parte da esfera que está no primeiro octante é .