Calcule as integrais transformando-as em coordenadas polares.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla transformando para coordenadas polares! O enunciado pede para calcular:
Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve e , e parece que estamos integrando sobre um semicírculo (já que vai de 0 até ). Vamos usar coordenadas polares para simplificar isso. Para isso, precisamos lembrar que:
  • Em coordenadas polares, e .
  • O elemento de área vira .
  • A expressão vira .

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. No sistema cartesiano:
  • varia de a .
  • Para cada , varia de a .
Isso descreve a parte superior de um círculo de raio 1 centrado na origem. Em coordenadas polares, isso se traduz em:
  • varia de a (já que estamos apenas na parte superior do círculo).
  • varia de a (o raio do círculo).

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral em coordenadas polares. Substituindo , e :
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro (em ):
Integrando em relação a :
Então, a integral agora é:

Passo 5

Agora, resolvemos a integral em :

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Calcule o limite.
Seja a região interior ao círculo de equação , compreendida entre a retas e . Indique como integral iterada nas duas possíveis ordens de integração e como integral iterada em coordenadas polares.
Seja . Determine o limite de quando tende a ao longo a curva
Mostre que o limite não existe.