Calcule as integrais transformando-as em coordenadas polares.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla transformando para coordenadas polares! O enunciado pede para calcular:
Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve e , e parece que estamos integrando sobre um semicírculo (já que vai de 0 até ). Vamos usar coordenadas polares para simplificar isso. Para isso, precisamos lembrar que:
Em coordenadas polares, e .
O elemento de área vira .
A expressão vira .
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. No sistema cartesiano:
varia de a .
Para cada , varia de a .
Isso descreve a parte superior de um círculo de raio 1 centrado na origem. Em coordenadas polares, isso se traduz em:
varia de a (já que estamos apenas na parte superior do círculo).
varia de a (o raio do círculo).
Passo 3
Agora, vamos reescrever a integral em coordenadas polares. Substituindo , e :
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro (em ):
Integrando em relação a :
Então, a integral agora é:
Passo 5
Agora, resolvemos a integral em 15 integral0^pi dtheta = 15 [ theta ]0^pi = 15 (pi - 0) = pi5 :