Calcule as integrais transformando-as em coordenadas polares.
integral-1^1 integral0^raiz1-x^2(x^2+y^2)^3 / 2 d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla transformando para coordenadas polares! O enunciado pede para calcular:
integral-1^1 integral0^raiz1 -x^2 (x^2+y^2)^3 / 2 , dy , dx
Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve e , e parece que estamos integrando sobre um semicírculo (já que vai de 0 até ). Vamos usar coordenadas polares para simplificar isso. Para isso, precisamos lembrar que:
  • Em coordenadas polares, e .
  • O elemento de área vira .
  • A expressão vira .

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. No sistema cartesiano:
  • varia de a .
  • Para cada , varia de a .
Isso descreve a parte superior de um círculo de raio 1 centrado na origem. Em coordenadas polares, isso se traduz em:
  • varia de a (já que estamos apenas na parte superior do círculo).
  • varia de a (o raio do círculo).

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral em coordenadas polares. Substituindo integral0^pi integral0^1 (r^2)^3/2 cdot r , dr , dtheta , (r^2)^3/2 = r^3 e integral0^pi integral0^1 r^3 cdot r , dr , dtheta = integral0^pi integral0^1 r^4 , dr , dtheta :
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro (em integral0^1 r^4 , dr ):
integral r^4 , dr = r^55 gr|0^1 = 1^55 - 0^55 = 15
Integrando integral0^pi 15 , dtheta = 15 integral0^pi dtheta em relação a :
Então, a integral agora é:

Passo 5

Agora, resolvemos a integral em 15 integral0^pi dtheta = 15 [ theta ]0^pi = 15 (pi - 0) = pi5 :

Resposta

A integral vale .

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