Mostre que o limite não existe.

Passo 1

Beleza, então o exercício pede para gente mostrar que o limite não existe. Isso está dentro da matéria de cálculo de limites em funções de várias variáveis. Para resolver, a gente precisa analisar o limite ao se aproximar de diferentes caminhos em direção ao ponto e ver se os resultados são diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um caminho simples para se aproximar de , por exemplo, deixando , onde é uma constante.
Substituindo na função:
Agora, podemos simplificar dividindo o numerador e o denominador por :
Quando , o termo se aproxima de 0, então:
Então, ao seguir o caminho , o limite é .

Passo 3

Agora, vamos escolher um segundo caminho diferente. Vamos tentar .
Substituindo na função:
Simplificando dividindo numerador e denominador por :
Quando , o termo se aproxima de 0, então:
Então, ao seguir o caminho , o limite é .

Resposta

Como os limites ao seguir caminhos diferentes resultam em valores diferentes ( e ), concluímos que o limite não existe.

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Mostre que o limite não existe.
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