Mostre que o limite não existe. lim (x, y) (0,0) x y3 x^2+2 y^3

Passo 1

Beleza, então o exercício pede para gente mostrar que o limite não existe. Isso está dentro da matéria de cálculo de limites em funções de várias variáveis. Para resolver, a gente precisa analisar o limite ao se aproximar de diferentes caminhos em direção ao ponto e ver se os resultados são diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um caminho simples para se aproximar de x cdot y3x^2 + 2y^3 = x cdot (kx)3x^2 + 2(kx)^3 = kx^23x^2 + 2k^3x^3 , por exemplo, deixando k3 + 2k^3x , onde limx to 0 k3 + 2k^3x = k3 é uma constante.
Substituindo na função:
Agora, podemos simplificar dividindo o numerador e o denominador por :
Quando , o termo se aproxima de 0, então:
Então, ao seguir o caminho , o limite é .

Passo 3

Agora, vamos escolher um segundo caminho diferente. Vamos tentar x cdot y3x^2 + 2y^3 = x cdot x^23x^2 + 2(x^2)^3 = x^33x^2 + 2x^6 .
Substituindo x3 + 2x^4 na função:
limx to 0 x3 + 2x^4 = 03 = 0
Simplificando dividindo numerador e denominador por :
Quando , o termo se aproxima de 0, então:
Então, ao seguir o caminho , o limite é .

Resposta

Como os limites ao seguir caminhos diferentes resultam em valores diferentes ( e ), concluímos que o limite não existe.

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