Calcule a massa do sólido interior a superficie esférica , compreendida entre o plano e a superfície cônica , se a densidade de massa em cada ponto de W e diretamente proporcional a distância de ao plano xy.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a massa de um sólido que está dentro da esfera , entre o plano e a superfície cônica . A densidade em cada ponto de é proporcional à distância de ao plano , ou seja, é proporcional a .
Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas esféricas para facilitar a integração sobre a região descrita. Também vamos aplicar conceitos de cálculo integral para encontrar a massa total.

Passo 2

Vamos começar transformando as equações para coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, temos:
A esfera se transforma em .
A superfície cônica pode ser escrita em coordenadas esféricas como , ou seja, , então .

Passo 3

A densidade é diretamente proporcional à distância ao plano , que é . Em coordenadas esféricas, isso fica:
Onde é a constante de proporcionalidade. Para simplificar, podemos considerar , já que queremos apenas a massa total proporcional à densidade.

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral para calcular a massa :
Aqui, é o elemento de volume em coordenadas esféricas.

Passo 5

Determinar os limites de integração:
  • varia de 0 a 2 (raio da esfera).
  • varia de 0 a (do eixo até a superfície cônica).
  • varia de 0 a (em torno do eixo ).
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral em ordem. Primeiro, integraremos em relação a :

Passo 7

Agora, integraremos em relação a :
Podemos usar a substituição , então :

Passo 8

Finalmente, integraremos em relação a :

Resposta

Multiplicando os resultados das integrais:
Portanto, a massa do sólido é .

Exercícios relacionados

Calcule as integrais transformando-as em coordenadas polares.
Seja onde a região R de integração está situada no 10 . quadrante, acima da parábola de equação e abaixo da parábola de equação . Esboce a região R e escreva a integral dupla como integral iterada, nas duas possíveis ordens de integração.
Calcule o limite.
Mostre, usando o Princípio da Indução Finita que