Calcule as integrais trigonométricas abaixo.
integral cos ^5 traizsen t d t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral trigonométrica: .
Aqui, o conteúdo envolve integrais de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a expressão, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da integral. Podemos reescrever integral cos^4 t cdot cos traizsin t , dt como .
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos lembrar que integral (1 - sin^2 t)^2 cdot cos traizsin t , dt . Assim, pode ser escrito como .
Substituindo isso na integral:

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja dudt = cos t implies du = cos t , dt . Então, a derivada de em relação a é:
Isso significa que .

Passo 5

Substituindo integral (1 - u^2)^2raizu , du e na integral:

Passo 6

Agora, vamos expandir (1 - u^2)^2 = 1 - 2u^2 + u^4 :
integral 1 - 2u^2 + u^4raizu , du
Substituindo na integral:

Passo 7

Vamos dividir a fração:
integral ( 1raizu - 2u^2 cdot 1raizu + u^4 cdot 1raizu ) , du
= integral ( u^-1/2 - 2u^3/2 + u^7/2 ) , du

Passo 8

Agora, vamos integrar termo a termo usando a regra de potência integral u^-1/2 , du = u^1/21/2 = 2u^1/2 :
integral -2u^3/2 , du = -2 cdot u^5/25/2 = -45u^5/2
integral u^7/2 , du = u^9/29/2 = 29u^9/2

Passo 9

Juntando tudo:
2u^1/2 - 45u^5/2 + 29u^9/2 + C

Passo 10

Agora, voltamos à variável original 2(sin t)^1/2 - 45(sin t)^5/2 + 29(sin t)^9/2 + C , lembrando que :

Resposta

A integral 2raizsin t - 45(sin t)^5/2 + 29(sin t)^9/2 + C é igual a:

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