Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x da região delimitada pelas curvas y = sen^2(x) e y = 0, para 0 <= x <= pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o volume do sólido que resulta da rotação em torno do eixo x da região delimitada pelas curvas e , no intervalo de y = 0 a 0. Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo para determinar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o método dos discos. Quando a região está sendo rotacionada em torno do eixo x, cada “fatia” da região forma um disco. O volume de cada disco é dado pela área da base (que é um círculo) multiplicada pela espessura . A fórmula para o volume total é:
Aqui, f(x) é a função que descreve a borda da região, e a e b são os limites de integração.

Passo 3

No nosso caso, a função que delimita a região é , e os limites de integração são e . Então, substituindo na fórmula:

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral . Para facilitar, vamos usar uma identidade trigonométrica que nos ajuda a simplificar . Sabemos que:
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos integrar termo a termo:
Somando tudo:

Passo 6

Agora, voltando à fórmula do volume:

Resposta

O volume do sólido é .

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