Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo da região delimitada pelas curvas e , para .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o volume do sólido que resulta da rotação em torno do eixo da região delimitada pelas curvas e , no intervalo de a . Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo para determinar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o método dos discos. Quando a região está sendo rotacionada em torno do eixo , cada “fatia” da região forma um disco. O volume de cada disco é dado pela área da base (que é um círculo) multiplicada pela espessura . A fórmula para o volume total é:
Aqui, é a função que descreve a borda da região, e e são os limites de integração.
Passo 3
No nosso caso, a função que delimita a região é , e os limites de integração são e . Então, substituindo na fórmula:
Passo 4
Agora, precisamos resolver a integral . Para facilitar, vamos usar uma identidade trigonométrica que nos ajuda a simplificar . Sabemos que: