Usando substituição trigonométrica, calcule as integrais abaixo.
integral raiz1-4 x^2 d x.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de √(1 - 4x²) em relação a x usando substituição trigonométrica. Isso envolve álgebra e trigonometria para simplificar a integral.

Passo 2

Observamos que a expressão dentro da raiz é da forma √(1 - (2x)²). Isso se assemelha à identidade trigonométrica 1 - sin²θ = cos²θ, sugerindo que podemos usar uma substituição trigonométrica para simplificar a integral.

Passo 3

Vamos fazer a substituição x = (1/2) sinθ. Dessa forma, 2x = sinθ, o que facilita o uso da identidade trigonométrica mencionada. Agora, precisamos encontrar dx em termos de dθ.

Passo 4

Derivando ambos os lados da substituição x = (1/2) sinθ, temos:
dx = (1/2) cosθ dθ

Passo 5

Substituindo x e dx na integral original:
∫√(1 - 4x²) dx = ∫√(1 - sin²θ) * (1/2) cosθ dθ

Passo 6

Simplificamos √(1 - sin²θ) usando a identidade trigonométrica 1 - sin²θ = cos²θ:
√(cos²θ) = |cosθ|
Como estamos trabalhando com substituição trigonométrica padrão, assumimos que cosθ ≥ 0. Portanto:
√(cos²θ) = cosθ

Passo 7

Agora, a integral fica:
∫cos�� * (1/2) cosθ dθ = (1/2) ∫cos²θ dθ

Passo 8

Para integrar cos²θ, usamos a identidade:
cos²θ = (1 + cos2θ)/2
Então:
(1/2) ∫(1 + cos2θ)/2 dθ = (1/4) ∫(1 + cos2θ) dθ

Passo 9

Integrando termo a termo:
(1/4)(θ + (sin2θ)/2) + C

Passo 10

Agora, substituímos θ de volta em termos de x. Sabemos que x = (1/2) sinθ, então:
sinθ = 2x → θ = arcsin(2x)
E também, sin2θ = 2 sinθ cosθ = 2*(2x)*√(1 - 4x²) = 4x√(1 - 4x²)

Passo 11

Substituindo θ e sin2θ na expressão integrada:
(1/4)(arcsin(2x) + (4x√(1 - 4x²))/2) + C = (1/4) arcsin(2x) + (x√(1 - 4x²))/2 + C

Resposta

A integral de √(1 - 4x²) dx é igual a (arcsin 2x)/4 mais metade de x vezes √(1 - 4x²) mais a constante C. Portanto,
integral raiz1-4x^2 , dx = arcsin(2x)4 + x,raiz1-4x^22 + C

Exercícios relacionados