Usando substituição trigonométrica, calcule as integrais abaixo.
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de √(1 - 4x²) em relação a x usando substituição trigonométrica. Isso envolve álgebra e trigonometria para simplificar a integral.
Passo 2
Observamos que a expressão dentro da raiz é da forma √(1 - (2x)²). Isso se assemelha à identidade trigonométrica 1 - sin²θ = cos²θ, sugerindo que podemos usar uma substituição trigonométrica para simplificar a integral.
Passo 3
Vamos fazer a substituição x = (1/2) sinθ. Dessa forma, 2x = sinθ, o que facilita o uso da identidade trigonométrica mencionada. Agora, precisamos encontrar dx em termos de dθ.
Passo 4
Derivando ambos os lados da substituição x = (1/2) sinθ, temos:
dx = (1/2) cosθ dθ
dx = (1/2) cosθ dθ
Passo 5
Substituindo x e dx na integral original:
∫√(1 - 4x²) dx = ∫√(1 - sin²θ) * (1/2) cosθ dθ
∫√(1 - 4x²) dx = ∫√(1 - sin²θ) * (1/2) cosθ dθ
Passo 6
Simplificamos √(1 - sin²θ) usando a identidade trigonométrica 1 - sin²θ = cos²θ:
√(cos²θ) = |cosθ|
Como estamos trabalhando com substituição trigonométrica padrão, assumimos que cosθ ≥ 0. Portanto:
√(cos²θ) = cosθ
√(cos²θ) = |cosθ|
Como estamos trabalhando com substituição trigonométrica padrão, assumimos que cosθ ≥ 0. Portanto:
√(cos²θ) = cosθ
Passo 7
Agora, a integral fica:
∫cos�� * (1/2) cosθ dθ = (1/2) ∫cos²θ dθ
∫cos�� * (1/2) cosθ dθ = (1/2) ∫cos²θ dθ
Passo 8
Para integrar cos²θ, usamos a identidade:
cos²θ = (1 + cos2θ)/2
Então:
(1/2) ∫(1 + cos2θ)/2 dθ = (1/4) ∫(1 + cos2θ) dθ
cos²θ = (1 + cos2θ)/2
Então:
(1/2) ∫(1 + cos2θ)/2 dθ = (1/4) ∫(1 + cos2θ) dθ
Passo 9
Integrando termo a termo:
(1/4)(θ + (sin2θ)/2) + C
(1/4)(θ + (sin2θ)/2) + C
Passo 10
Agora, substituímos θ de volta em termos de x. Sabemos que x = (1/2) sinθ, então:
sinθ = 2x → θ = arcsin(2x)
sinθ = 2x → θ = arcsin(2x)
E também, sin2θ = 2 sinθ cosθ = 2*(2x)*√(1 - 4x²) = 4x√(1 - 4x²)
Passo 11
Substituindo θ e sin2θ na expressão integrada:
(1/4)(arcsin(2x) + (4x√(1 - 4x²))/2) + C = (1/4) arcsin(2x) + (x√(1 - 4x²))/2 + C
(1/4)(arcsin(2x) + (4x√(1 - 4x²))/2) + C = (1/4) arcsin(2x) + (x√(1 - 4x²))/2 + C
Resposta
A integral de √(1 - 4x²) dx é igual a (arcsin 2x)/4 mais metade de x vezes √(1 - 4x²) mais a constante C. Portanto,