Determine o polinômio de Taylor de primeira ordem da função f(x, y) = x^3 * y^6 em no ponto 1,1.
Dica: P1(x, y) = f(1, 1) + nabla f(1, 1) . (x - 1, y - 1)
O
A) P1(x, y) = 1 + 3(x - 1) + 6y
O
B) P1(x, y) = 3 + 3(x - 1) + 6(y - 1)
O
C) P1(x, y) = 1 + 3x + 6y
O
D) P1(x, y) = 1 + 3(x - 1) + 6(y - 1)
O
E) P1(x, y) = 1 + 3x + 6(y - 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio de Taylor de primeira ordem para a função no ponto . Isso significa que vamos aproximar a função perto desse ponto usando um polinômio que leva em conta o valor da função e suas derivadas parciais nesse ponto. Para isso, vamos precisar calcular o valor da função em e as derivadas parciais em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto :
Então, .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e a .
A derivada parcial em relação a é:
No ponto :

Passo 4

A derivada parcial em relação a é:
No ponto :

Passo 5

Com isso, o vetor gradiente é:

Passo 6

Agora, vamos usar a fórmula do polinômio de Taylor de primeira ordem:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A resposta correta é a Opção D):

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