Determine o polinômio de Taylor de primeira ordem da função em no ponto .
Dica:
O
A)
O
B)
O
C)
O
D)
O
E)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio de Taylor de primeira ordem para a função no ponto . Isso significa que vamos aproximar a função perto desse ponto usando um polinômio que leva em conta o valor da função e suas derivadas parciais nesse ponto. Para isso, vamos precisar calcular o valor da função em e as derivadas parciais em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto :
Então, .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e a .
A derivada parcial em relação a é:
No ponto :

Passo 4

A derivada parcial em relação a é:
No ponto :

Passo 5

Com isso, o vetor gradiente é:

Passo 6

Agora, vamos usar a fórmula do polinômio de Taylor de primeira ordem:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A resposta correta é a Opção D):

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Se e então
Seja .
existe?
Usando integração por partes, calcule as integrais abaixo: .
Calcule as integrais trigonométricas abaixo: .