Usando integração por partes, calcule as integrais abaixo: integral x^3 / 2 ln x dx.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de integral u , dv = uv - integral v , du . Isso envolve a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. Vamos precisar lembrar a fórmula de integração por partes:
Aqui, vamos escolher quais partes serão e .

Passo 2

Vamos definir:
u = ln x
dv = x^3/2 dx
A razão para essa escolha é que a derivada de é mais simples, e a integral de também é direta.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du = 1x dx e v = integral x^3/2 dx = x^5/25/2 = 25 x^5/2 :
Derivando :
Integrando :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x^3/2 ln x , dx = uv - integral v , du
Substituindo = ln x cdot 25 x^5/2 - integral 25 x^5/2 cdot 1x dx , e :

Passo 5

Simplificando a integral restante:
= 25 x^5/2 ln x - 25 integral x^5/2 - 1 dx
= 25 x^5/2 ln x - 25 integral x^3/2 dx

Passo 6

Calculando a integral:
integral x^3/2 dx = x^5/25/2 = 25 x^5/2

Passo 7

Substituindo de volta:
= 25 x^5/2 ln x - 25 cdot 25 x^5/2 + C
= 25 x^5/2 ln x - 425 x^5/2 + C

Resposta

A integral é:
integral x^3/2 ln x , dx = 25 x^5/2 ln x - 425 x^5/2 + C

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