Calcule as integrais trigonométricas abaixo: integral cos x cos (9 x) d x

Passo 1

Beleza, a gente precisa calcular a integral . Para isso, vamos usar umas identidades trigonométricas que vão facilitar nosso trabalho.

Passo 2

Primeiro, lembra da identidade que transforma o produto de dois cossenos em uma soma? Ela é assim:
cos A cos B = 12 [cos(A + B) + cos(A - B)]
Essa identidade vai ajudar a simplificar a integral.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa identidade com cos x cos 9x = 12 [cos(x + 9x) + cos(x - 9x)] e cos x cos 9x = 12 [cos(10x) + cos(-8x)] :
cos x cos 9x = 12 [cos(10x) + cos 8x]
Simplificando as expressões dentro do cosseno:
E como , fica:

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão na integral original:
integral cos x cos 9x , dx = 12 integral cos 10x , dx + 12 integral cos 8x , dx
Isso divide a integral em duas partes mais fáceis de resolver.

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente. A integral de 12 integral cos 10x , dx = 12 cdot 110 sin 10x = 120 sin 10x é 12 integral cos 8x , dx = 12 cdot 18 sin 8x = 116 sin 8x . Então:
120 sin 10x + 116 sin 8x + C
E:
Juntando tudo:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a:
120 sin 10x + 116 sin 8x + C

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