Usando substituições trigonométricas convenientes, calcule as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular a integral . Vamos usar substituições trigonométricas, que são úteis quando temos expressões com . Precisamos identificar uma substituição que simplifique essa raiz.

Passo 2

Primeiro, escolhemos uma substituição trigonométrica adequada. Para , podemos usar . Essa escolha é porque , que simplifica a raiz.

Passo 3

Com , calculamos . Diferenciando ambos os lados, temos:

Passo 4

Substituímos e na integral original:

Passo 5

Simplificamos a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 6

Sabemos que . Então:

Passo 7

Agora, voltamos para . Sabemos que:
Desenhando um triângulo retângulo, temos o cateto oposto , o adjacente e a hipotenusa . Assim:
Substituindo na expressão da integral:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Calcule as integrais trigonométricas abaixo:
Use a Integração por Partes para calcular as seguintes integrais:
Calcule as integrais trigonométricas abaixo:
Usando substituições trigonométricas convenientes, calcule as seguintes integrais: