Usando substituições trigonométricas convenientes, calcule as seguintes integrais: integral d xx raizx^2+9

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular a integral . Vamos usar substituições trigonométricas, que são úteis quando temos expressões com . Precisamos identificar uma substituição que simplifique essa raiz.

Passo 2

Primeiro, escolhemos uma substituição trigonométrica adequada. Para , podemos usar . Essa escolha é porque , que simplifica a raiz.

Passo 3

Com dx = 3 sec^2 theta , dtheta , calculamos . Diferenciando ambos os lados, temos:

Passo 4

Substituímos integral 3 sec^2 theta , dtheta3 tan theta raiz(3 tan theta)^2 + 9 = integral 3 sec^2 theta , dtheta3 tan theta raiz9 tan^2 theta + 9 e na integral original:

Passo 5

Simplificamos a expressão dentro da raiz:
raiz9 tan^2 theta + 9 = raiz9 (tan^2 theta + 1) = raiz9 sec^2 theta = 3 sec theta
Então, a integral fica:
integral 3 sec^2 theta , dtheta3 tan theta cdot 3 sec theta = integral sec thetatan theta , dtheta

Passo 6

Sabemos que integral 1sin theta , dtheta = integral csc theta , dtheta = -ln|csc theta + cot theta| + C . Então:

Passo 7

Agora, voltamos para x = 3 tan theta Rightarrow tan theta = x3 . Sabemos que:
csc theta = raizx^2 + 9x e cot theta = 3x
Desenhando um triângulo retângulo, temos o cateto oposto -ln|raizx^2 + 9x + 3x| + C = -ln|raizx^2 + 9 + 3x| + C , o adjacente e a hipotenusa . Assim:
Substituindo na expressão da integral:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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