Usando substituições trigonométricas convenientes, calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular a integral . Vamos usar substituições trigonométricas, que são úteis quando temos expressões com . Precisamos identificar uma substituição que simplifique essa raiz.
Passo 2
Primeiro, escolhemos uma substituição trigonométrica adequada. Para , podemos usar . Essa escolha é porque , que simplifica a raiz.
Passo 3
Com , calculamos . Diferenciando ambos os lados, temos:
Passo 4
Substituímos e na integral original:
Passo 5
Simplificamos a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 6
Sabemos que . Então:
Passo 7
Agora, voltamos para . Sabemos que:
Desenhando um triângulo retângulo, temos o cateto oposto , o adjacente e a hipotenusa . Assim:
Substituindo na expressão da integral:
Resposta
A integral é igual a , onde é a constante de integração.