Calcule as integrais trigonométricas abaixo: integral cos ^4 x d x

Passo 1

Vamos calcular a integral trigonométrica . Para isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de integração básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar cos^2 x = 1 + cos 2x2 utilizando a fórmula de redução de potência. Sabemos que:

Passo 3

Como temos cos^4 x = (1 + cos 2x2)^2 , podemos escrever isso como e aplicar a fórmula novamente:

Passo 4

Expandindo o quadrado:
cos^4 x = 1 + 2cos 2x + cos^2 2x4

Passo 5

Agora, precisamos simplificar cos^2 2x = 1 + cos 4x2 usando a mesma fórmula de redução de potência:

Passo 6

Substituindo cos^4 x = 1 + 2cos 2x + 1 + cos 4x24 = 3 + 4cos 2x + cos 4x8 na expressão anterior:

Passo 7

Agora, a integral fica mais simples:
integral cos^4 x , dx = integral 3 + 4cos 2x + cos 4x8 , dx
Podemos separar a integral:
integral cos^4 x , dx = 38 integral dx + 48 integral cos 2x , dx + 18 integral cos 4x , dx

Passo 8

Integrando cada termo:
38 x + 48 cdot sin 2x2 + 18 cdot sin 4x4 + C
Simplificando:
38 x + sin 2x4 + sin 4x32 + C

Resposta

A integral de integral cos^4 x , dx = 38 x + sin 2x4 + sin 4x32 + C é:

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